關於政府稅收利潤最大化的問題
(I) 壟斷者俱有成本函式 $ c(q)=q $ . 它面臨以下需求函式 $ q(p)=100/p $ 為了 $ p\le 20 $ 和 $ q(p)=0 $ 為了 $ p\ge 20 $ . 什麼是利潤最大化價格和產量。
(ii) 壟斷者有成本函式 $ c(q)=\alpha q $ 其中 alpha 是固定邊際成本。它的需求函式具有恆定的需求價格彈性，其值為 $ -3 $ . 政府對每單位產出征收 6 美元的稅。壟斷價格會上漲多少？
我的解決方案如下：
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(I) 壟斷者俱有成本函式 $ c(q)=q $ . 它面臨以下需求函式 $ q(p)=100/p $ 為了 $ p\le 20 $ 和 $ q(p)=0 $ 為了 $ p\ge 20 $ . 什麼是利潤最大化價格和產量。
給定需求函式 $$ \begin{eqnarray*} q(p) = \begin{cases} \frac{100}{p} & \text{if } p \leq 20 \ 0 & \text{if } p > 20\end{cases} \end{eqnarray*} $$
所以，收入是數量的函式 $ (q) $ 是 $$ \begin{eqnarray*} r(q) = \begin{cases} 100 & \text{if } q \geq 5 \ 0 & \text{if } q < 5\end{cases} \end{eqnarray*} $$
鑑於成本是 $ c(q) = q $ , 利潤作為數量的函式 $ (q) $ 是 $$ \begin{eqnarray*} \pi(q) = r(q) - c(q) = \begin{cases} 100 - q & \text{if } q \geq 5 \ -q & \text{if } q < 5\end{cases} \end{eqnarray*} $$
我們只需解決以下問題即可找到壟斷者的最優數量： $$ \begin{eqnarray*} \max_{q \geq 5} \ 100 - q \end{eqnarray*} $$
解決它，我們得到最佳數量 $ (q^m) $ 以及相應的價格 $ (p^m) $ 被壟斷者選為 $$ \begin{eqnarray*} q^m & = & 5 \ p^m & = & 20\end{eqnarray*} $$
(ii) 壟斷者有成本函式 $ c(q)=\alpha q $ 其中 alpha 是固定邊際成本。它的需求函式具有恆定的需求價格彈性，其值為 $ -3 $ . 政府對每單位產出征收 6 美元的稅。壟斷價格會上漲多少？
假設需求函式具有恆定的價格彈性，其值為 $ -3 $ ，其形式為： $$ q(p) = \beta p^{-3} $$， 在哪裡 $ \beta > 0 $ 是一個常數。
現在壟斷者在價格方面的利潤最大化問題 $ (p) $ 可以寫成： $$ \begin{eqnarray*} \max_{p} \ \ pq(p) - c(q(p)) \end{eqnarray*} $$
鑑於成本是 $ c(q)=\alpha q $ 需求是 $ q(p) = \beta p^{-3} $ ，利潤最大化問題是： $$ \begin{eqnarray*} \max_{p} \beta p^{-2} - \alpha\beta p^{-3} \end{eqnarray*} $$ 解決它，我們得到最優價格： $$ \begin{eqnarray*} p^m = \frac{3\alpha}{2} \end{eqnarray*} $$
稅收為每單位 6，利潤最大化問題是 $$ \begin{eqnarray*} \max_{p} \beta p^{-2} - \alpha\beta p^{-3} - 6\beta p^{-3}\end{eqnarray*} $$
解決它，我們得到最優價格： $$ \begin{eqnarray*} p^t = \frac{3(\alpha+6)}{2} \end{eqnarray*} $$
因此，由於稅收而導致的價格上漲等於： $$ \begin{eqnarray*} \Delta = p^t - p^m = 9 \end{eqnarray*} $$