關於不確定性的問題
請想像妮可不確定她未來的財富。她在世界惡劣的狀態下的財富為零。她在良好狀態下的財富是 $ w>0 $ . 每個狀態最初都是同樣可能的。然而，nikole 可以購買技術（如安全設備），使狀態更好的可能性更大。如果她買 $ x>0 $ 單位，良好狀態的機率變為 $ q(x)>1/2 $ 在哪裡 $ q(x) $ 在 x 中是嚴格遞增且嚴格凹的，其中 $ q(x)<1 $ 對於所有 x。*為了購買 x 單位，Nichole 承諾支付 $ t(x)<w $ 如果好的狀態實現了。在Nicole 處於自然風險的糟糕狀態下，她不支付任何費用。*安德魯面臨著完全相同的問題，但安德魯厭惡風險。將壞狀態下的安德魯效用正規化為 $ u(0)=0 $ . 假使，假設 $ q(x) $ 和 $ t(x) $ 是這樣的，以至於 Nichole 和 Andrew 都想購買該技術的嚴格正數。
因此，將 x 視為選擇變數來表述 Nicole 和 Andrew 的最大化問題。我如何證明誰購買了更多的技術？這個結果直覺地告訴了我什麼？其次，我如何證明乙太代理的最佳數量取決於 $ w $ ?
在第二種情況下，我假設該技術由一家風險國家公司提供，其提供 x 單位技術的成本為 $ kx $ 在哪裡 $ k>0 $ . 該公司了解 Nichole 和 Andrew 的偏好，並被允許向他們提供不同的報價。如果我們設想公司決定向 Nichole 提供固定數量的 $ x_N>0 $ 和安德魯固定數量 $ x_A>0 $ . 讓 $ t_N(x_N) $ 和 $ t_A(x_A) $ 表示分別向 Nichole 和 Andrew 收費的最佳價格（我應該記住，這僅在良好狀態下分配）。
給定一個固定的 $ x_N $ , 我需要導出 $ t_N(x_N) $ 和隱含的表達 $ t_A(x_A) $ 對於一個固定的 $ x_A $ . 如果 $ x_N=x_A $ , 我可以這麼說嗎 $ t_N(x_N) $ 大於 $ t_A(x_A) $ ? 或不？我想證明這一點，我能直覺地說出什麼？我想得出 $ t_N’(x_N) $ 和 $ t_A’(x_A) $ . 最後，我如何推導出提供給 Nichole 的最優數量的隱含特徵 $ x_N $ . 以及如何證明最優值是否 $ x_A $ 大於最優值 $ x_N $ 或不？
僅作為解決方案所做的是
對於尼科爾
$$ \max_{x} \ \ q(x) u(w-xt(x))+(1-q(x))u(0) $$
FOC
$$ q’(x) u(w-xt(x))+q(x) u’(w-xt(x))-(w-xt(x))’+(1-q’(x))’u(0)=0 $$
$$ q’(x) u(w-xt(x))+q(x) (-t(x)-x)u’(w-xt(x))=u(0)q’(x) $$
$$ q’(x) u(w-xt(x))-q’(x) u(0)=q( x )u’(w-xt(x))(t(x)+x) $$ $$ q’(x)[ u(w-xt(x))- u(0)]=q( x )u’(w-xt(x))(t(x)+x) $$ $$ q’(x)[(1/q(x))[u(q(x)(w-xt(x)))- u(0)]]=q( x )u’(w-xt(x))(t(x)+x) $$
$$ (q’(x)/q(x))[u(q(x)(w-xt(x)))- u(0)]=q( x )u’(w-xt(x))(t(x)+x) $$
自然風險
$$ q(x)(w-xt(x)+(1-q(x))u(0)=u(q(x)(w-xt(x)) $$
$$ [u(w-xt(x))-u(0)]=(1/q(x))[u(q(x)(w-xt(x))-u(0)] $$
風險厭惡
$$ q(x)u(w-xt(x))\le u(q(x)(w-xt(x)) $$
任何幫助表示讚賞。謝謝你。
問題的原始版本
編輯：為剩餘部分添加我的解決方案
假設 Nichole 是風險中性的。我結束了。
$$ {\partial u \over \partial x}[q’(x)(w-t(x))-q(x)t’(x)]=0 $$ $$ q’(x)(w-5(x))-q(x)t’(x )=0 $$並區分這個wrtw $$ {\partial q’(x) \over \partial x}{\partial x \over \partial w}(w-t(x))+q’(x)[{\partial w \over \partial w}-{\partial t \over \partial x}{\partial x \over \partial w}-\frac{\partial q(x)}{\partial x}{\partial x \over \partial w}t’(x)-q(x){\partial t’(x) \over \partial x}{\partial x \over \partial w}=0 $$
計算後
$$ {\partial x \over \partial w}=+{q’(x)\over -q”( x)(w-t(x)+2q’(x)t’(x)+q(x)t”(x)}>0 $$
另一部分的解決方案：
$$ \text{profit}=t_N(x_N)k-Nx_N $$ 受制於 $ q(x)u(w-t_N(x_N))\ge 0 $
但是對於這一部分，我再次無法建立方程式。
我想的是
$$ max_{(t_N(x_N), t_A(x_A))} \ \ q(x_A)[t_A(x_A)-kx_A]+q(x_N)[t_N(x_N)-kx_N] $$
一階條件
寫 $ (t_N(x_N) $
$$ q’(x_N)(t_N(x_N)-kx_N)+q(x_N)[t’_N(x_N)-k]=0 $$
$$ t_N(x_N)={q’(x_N)kx_N-q(x_N)[t’_N(x_N)-k]\over q’(x_N)} $$
安德魯類似
$$ t_A(x_A)={q’(x_A)kx_A-q(x_A)[t’_A(x_A)-k]\over q’(x_A)} $$
我們被賦予了 $ u $ 是增加和凹入的，並且 $ u(0) = 0 $ . 這意味著 $ \dfrac{u(t)}{t} $ 正在減少 $ t $ ， 並且， $ \dfrac{u(t)}{t} > u’(t) $ 對全部 $ t $ .
妮可最大化問題：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x} \ q(x)(w-t(x))\end{eqnarray*} $$ 火 ： $ q’(x)(w-t(x)) = q(x)t’(x) $
認為 $ x_N $ 解決了妮可的問題。因此，它滿足
$ q’(x_N)(w-t(x_N)) = q(x_N)t’(x_N) $ 或等效地，
$ \dfrac{q’(x_N)}{q(x_N)t’(x_N)} = \dfrac{1}{w-t(x_N)} \tag{1} $
安德魯最大化問題：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x} \ q(x)u(w-t(x))\end{eqnarray*} $$ 火 ： $ q’(x)u(w-t(x)) = q(x)t’(x)u’(w-t(x)) $
或等效地，
$ \dfrac{q’(x)u(w-t(x))}{q(x)t’(x)} = u’(w-t(x)) \tag{2} $
讓我們比較上述 FOC (2) 的兩側 $ x = x_N $ ,
左軸 = $ \dfrac{q’(x_N)u(w-t(x_N))}{q(x_N)t’(x_N)} = \dfrac{u(w-t(x_N))}{w-t(x_N)} > u’(w-t(x_N)) = $ RHS
自從在 $ x = x_N $ (2) 的 LHS 大於 (2) 的 RHS，我們需要減少 $ x $ 使他們平等。所以，有 $ x_A < x_N $ 這樣
$ \dfrac{q’(x_A)u(w-t(x_A))}{q(x_A)t’(x_A)} = u’(w-t(x_A)) \tag{3} $
因此，妮可購買了大量的技術。
觀察 FOC，我們還可以得出結論， $ w $ 導致雙方選擇的最優數量增加。
現在嘗試解決剩下的兩個部分。