恩格爾曲線與需求收入彈性的關係；恩格爾曲線的斜率是否等於收入彈性？
我了解到 $ \frac{\Delta x}{\Delta m} \gt 0 $ 對於普通商品， $ \frac{\Delta x}{\Delta m} \lt 0 $ 對於劣質商品， $ \frac{\Delta x}{\Delta m} \gt 1 $ 對於奢侈品和 $ 0 \lt \frac{\Delta x}{\Delta m} \lt 1 $ 對於必需品（其中 x 是某種商品的單位數量，m 是收入）。
現在，看一下同位偏好的恩格爾曲線（即 Cobb-Douglas，完美替代/完美互補），我明白了 $ \frac{\Delta x}{\Delta m} = 1 $ 對於同類商品（順便說一句，這是一個術語，“同類商品”？）。
由於恩格爾曲線的斜率為 $ \frac{\Delta m}{\Delta x_1} $ ，我想知道如果 $ \left(\frac{\Delta m}{\Delta x_1}\right)^{-1} $ 是一種確定需求彈性的方法，據我了解，它處理完全相同的值來對商品進行分類。
所以我想知道如果 $ \left(\frac{\Delta m}{\Delta x_1}\right)^{-1} $ 等於收入彈性，或者是否有辦法從恩格爾曲線確定收入彈性。
需求的收入彈性
讓 $ q(y) $ 是一種物品的恩格爾曲線，即它給出了給定收入水平的需求量 $ y $ （保持價格不變）。需求的收入彈性由下式給出： $$ \varepsilon^y_q = \frac{\partial q}{\partial y} \frac{y}{q} $$ 它衡量需求的百分比變化 $ q(y) $ , 由於 1 $ % $ 收入增加， $ y $ .
如果 $ \varepsilon^y_q \ge 0 $ 好是正常的，如果 $ \varepsilon^y_q < 0 $ , 是劣等的。如果 $ \varepsilon^y_q > 1 $ 這是一種奢侈品，而如果 $ \varepsilon^y_q < 1 $ 善被稱為必需品。與收入相比，對奢侈品的需求增長超過了比例。必需品的增加不成比例。
使用彈性的優點 $ \varepsilon^y_q $ , 而不是斜率 $ \frac{\Delta q}{\Delta y} $ 是它與單元無關我們可以這樣看： $$ \varepsilon^y_q = \underbrace{\dfrac{\partial q}{\partial y}}{\dfrac{kilos}{Euros}} \underbrace{\dfrac{1}{q}}{\dfrac{1}{kilos}} \underbrace{y}_{\dfrac{Euros}{1}} $$
這意味著 $ \varepsilon^y_q $ 如果我們以不同的單位表示貨物或收入，則不會改變。例如彈性 $ \varepsilon^y_q $ 無論您以歐元還是美元表示收入，都不會改變。此外，無論您以公斤還是磅表示需求，彈性都不會改變。因此，可以很容易地比較不同國家和不同時間段的彈性。斜坡 $ \frac{\Delta q}{\Delta y} $ 沒有這個優勢。
同類偏好
如果偏好是類比的，則需求函式與收入呈線性關係： $$ q(y) = c y, $$ 在哪裡 $ c $ 是一個常數。事實上，代 $ y = 1 $ 進入這個等式給出： $$ q(1) = c, $$ 所以 $ c $ 是單位收入需求（如果你有 1 歐元，你會購買的數量）。這意味著我們也可以這樣寫： $$ q(y) = q(1) y. $$ 恩格爾曲線是通過原點且有斜率的直線 $ q(1) $ : $$ \frac{\partial q(y)}{\partial y} = q(1). $$ 像這樣： $$ \varepsilon^y_q = \frac{\partial q}{\partial y}\frac{y}{q(y)} = \frac{q(1)y}{q(y)} = \frac{q(y)}{q(y)} = 1. $$ 所以類比偏好產生的需求曲線具有單位收入彈性。