凸性與完美互補型效用函式的關係

考慮一個消費兩種商品並討厭它們的人。給定效用函式： U(x,y)= -max{x,y} 1.無差異曲線的形狀是什麼？2.為什麼這些偏好是弱凸的？3.負號在數學上意味著什麼？4.會變成min{x,y}函式嗎？

我不會直接給你答案，而是給你一系列提示，幫助你自己找出答案。

1.無差異曲線的形狀是什麼？

考慮三個不同的消費束： $ (3,10) $ , $ (10,10) $ ， 和 $ (10,3) $ . 驗證這三個捆綁包對消費者產生相同的效用。換句話說，它們應該位於同一條無差異曲線上。然後通過三個點畫一條曲線。驗證所描述的所有點 $ (x,10) $ 和 $ (10,y) $ 為了 $ x,y\le10 $ 也應該在這條無差異曲線上。

2.為什麼這些偏好是弱凸的？

首先提醒自己弱凸性是什麼意思。然後比較個人從以下成對的捆綁包中獲得的實用程序：

• $ A_1=(10,10) $ 和 $ A_2=\alpha(10,3)+(1-\alpha)(3,10) $ 為了 $ \alpha\in(0,1) $
• $ B_1=(10,10) $ 和 $ B_2=\alpha(10,3)+(1-\alpha)(10,10) $ 為了 $ \alpha\in(0,1) $

3.負號在數學上意味著什麼？

你說消費者討厭這兩種商品。比較捆綁包中的實用程序 $ (10,10) $ 和 $ (5,5) $ 並查看哪個更高（因此更優選）。

4.會變成min{x,y}函式嗎？

試著畫一條無差異曲線 $ u=\min{x,y} $ 並與第 1 部分中的內容進行比較。

$ u(x, y) = -\max(x, y) = \min(-x, -y) $ 是凹函式。因為它是凹的，所以它也是準凹的（或者等價地，它代表弱凸的偏好）。這是無差異地圖 $ u $ :

$ u $ 不代表相同的偏好 $ v(x, y) =\min(x, y) $ . 這是無差異地圖 $ v $ :

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/22027