用非連續效用函式來表示這些字典偏好？

我有以下偏好，我想知道是否可以用實用函式來表示它們：

$ R_1 \succ R_2 $ <-> $ R_1\leq Q $ 和 $ R_2 > Q $ ,

$ R_1 \succ R_2 $ <-> $ R_1 \leq Q $ 和 $ R_2 \leq Q $ 和 $ R_1>R_2 $ ,

$ R_1 \sim R_2 $ <-> $ R_1 > Q $ 和 $ R_2 > Q $

R 是正值和實值，Q 是第一個標準的 R 的“門檻值”（低於 Q 的所有東西都優於高於 Q 的東西）。這些是詞典偏好，對吧？

我不能用效用函式來表示這些偏好嗎：

$ U(R)=a+bR $ 為了 $ R\leq Q $ 和正 a,b

$ U(R)=0 $ 除此以外 ？

因為現在

$ U(R_1)>U(R_2) $ <-> $ R_1 \succ R_2 $

$ U(R_1)=U(R_2) $ <-> $ R_1 \sim R_2 $

那麼，最終是否有可能通過非連續效用函式來表示詞典偏好？

非常感謝您的幫助！

菲利克斯

正如@HRSE 指出的那樣，您的術語有點誤導，當我們使用“詞典”這個詞時，這些偏好並不是我們所指的。你可能會想考慮每一個 $ R>0 $ 作為二維向量 $ R=(\mathbb{1}_{R \leq Q},R) $ 並在這些向量上應用字典順序，但我想說這有點不自然，因為向量的兩個維度不是獨立的（你不能在不影響第一個的情況下自由改變第二個）。

也就是說，詞典偏好可以用效用函式（但不能用連續效用函式）表示的通常觀察也適用於您的情況。這兩種情況的共同特徵是偏好滿足標準理性要求（弱序）但不連續。您可以參考這個問題來正式討論這些問題：

字典偏好關係不能用效用函式表示

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/10624