與 N 玩家的 Stackelberg 領導者-跟隨者博弈的嚴格解決方案？
在經典的兩人 Stackelberg 博弈（順序古諾）中，我們有一個線性需求函式 $ P = 1 - Q $ 在哪裡 $ Q = \sum_0^2 q_i $ , 我們假設同質生產成本 $ c $ . 從博弈的“底部”開始，即參與者 2 知道參與者 1 的選擇輸出並做出最佳響應，然後假設參與者 1 預期該響應，則“向上”移動，可以證明遊戲具有均衡解：
$$ q_1^\star = \frac{1-c}{2} $$ $$ q_2^\star = \frac{1-c}{4} . $$
我們可以對 3、4 或更多玩家遵循相同的程序並發現模式： $$ q_n^\star = \frac{1-c}{2^n} . $$
我一直在嘗試通過歸納或其他方法進行嚴格的數學證明，以表明情況確實如此，但沒有找到任何證明。有人可以幫忙嗎？
讓 $ c = 0 $ 和 $ Q_k = \sum_{i = 1}^k{q_i} $ . 為了 $ j = n $ 最好的回應是由 $$ \begin{align} b_n(Q_{n-1}) = \arg\max_{q_n}(1 - Q_{n-1} - q_n)q_n = \frac{1- Q_{n-1}}{2}. \end{align} $$ 為了 $ j = n-1 $ 最好的回應是由 $$ \begin{align} b_{n-1}(Q_{n-2}) =& \arg\max_{q_{n-1}}(1 - Q_{n-2} - q_{n-1} - b_n(Q_{n-1}))q_{n-1} = \frac{1- Q_{n-2}}{2}. \end{align} $$ 可以證明，對於任何 $ k \in {1,\ldots,n} $ 因此，最佳響應由下式給出 $$ \begin{align} b_k(Q_{k-1}) = \arg\max_{q_k}\left(1 - Q_{k-1} - q_k - \sum_{\ell=k+1}^n{b_\ell}(Q_{\ell-1})\right)q_{n-1} = \frac{1- Q_{k-1}}{2}. \end{align} $$ 注意 $ q_1^* = b_1(0) = \frac{1}{2} $ . 然後它遵循 $$ \begin{align} q_n^* = b_n(Q^_{n-1}) =& \frac{1 - (q_1^ + q_2^* + q_3^* + \ldots + q_{n-1}^)}{2}\ =& \frac{1 - \left(q_1^ + \frac{1 - q_1^}{2} + \frac{1 - q_1^ - q_2^}{2} + \ldots + \frac{1 - (q_1^ + q_2^* + q_3^* + \ldots + q_{n-2}^)}{2}\right)}{2}\ =& \frac{1 - \left(q_1^ + \frac{1 - q_1^}{2} + \frac{1 - q_1^ - \frac{1 - q_1^}{2}}{2} + \ldots + \frac{1 - \left(q_1^ + \frac{1 - q_1^}{2} + \frac{1 - q_1^ - q_2^}{2} +\ldots + q_{n-2}^\right)}{2}\right)}{2}\ \vdots\ =& \frac{1-q_1^*}{2^{n-1}}\ =& \frac{1}{2^n} \end{align} $$