期望效用理論中的風險溢價
考慮一個具有效用函式的代理 $ u $ , 初始財富 $ \omega $ , 和一個隨機變數 $ x $ . 根據風險溢價的定義 $ R $ ， 我們有
$$ Eu(w+x) = u(w+E(x)-R). $$ 風險溢價的經典推導如下：
鄰域2 階的泰勒級數展開 $ (\omega + E(x)) $ 左側的 (LHS) 給出
$$ u(\omega+x) \approx u[\omega+E(x)] + u’[x-E(x)] + \frac{1}{2} u’’[x-E(x)]^2, $$ 1 階泰勒級數展開的鄰域 $ (\omega + E(x) - R) $ 右手邊的（RHS）給出
$$ u(\omega + E(x)-R) \approx u(\omega+E(x)) - u’R. $$ 取第一個系列擴展的預期，將兩個系列的結果與風險溢價收益率的定義相結合
$$ u(\omega + E(x)) + u’E[x-E(x)] + \frac{1}{2} u’‘E[x-E(x)]^2 \approx u(\omega+E(x)) - u’R. $$ 這意味著
$$ R \approx - \frac{1}{2} \frac{u’’}{u’} E[x-E(x)]^2. $$ 我對這個推導的理解是，如果我們希望風險溢價不僅與 $ R $ 也是為了更高的時刻 $ R $ .
但是，RHS 的一階擴展是否有任何（經濟）合理性？而對於它不同的鄰里評價呢？
RHS 的一階擴展是否有任何（經濟）合理性？而對於它不同的鄰里評價呢？
至於你的第一個問題：
這是一種純粹的數學策略，以獲得（近似）方程 $ R $ . RHS 上一階的擴展是由這一事實推動的，即帶來 $ R $ 獨自“在表面”。LHS 進行二階展開的原因是為了留下一些東西（變異數項）。當然可以應用 LHS 的高階展開。
至於你的第二個問題，你犯了一個錯誤。RHS 擴展的擴展中心與 LHS 擴展的中心相同，即 $ w-E(x) $ （或等效地，大約 $ R=0 $ ）。圍繞它的確切參數擴展一個函式是沒有意義的（並且它失敗了）。具體來說，我們有
$$ u\left(w+E(x)-R\right) \approx u\left(w+E(x)\right) + u’\cdot [(w+E(x)-R)-(w+E(x))] = u\left(w+E(x)\right) - u’\cdot R $$ 最後，為什麼不考慮在 RHS 上進行二階擴展呢？然後我們會得到
$$ u\left(w+E(x)-R\right) \approx u\left(w+E(x)\right) + u’\cdot [(w+E(x)-R)-(w+E(x))] \+\frac 12 u’’\cdot [(w+E(x)-R)-(w+E(x))]^2 $$ $$ = u\left(w+E(x)\right) - u’\cdot R + \frac 12 u’’\cdot R^2 $$ 然後我們將獲得一個二次多項式 $ R $ ,
$$ \frac 12 u’’\cdot R^2 - u’\cdot R - \frac 12 u’’\sigma^2_x = 0 $$ $$ \ R^2 - \frac {2u’}{u’’}\cdot R - \sigma^2_x = 0 $$ 這有根
$$ R_1,R_2 = \frac {(2u’/u’’) \pm \sqrt{(2u’/u’’)^2+4\sigma^2_x}}{2} $$ $$ \implies R = \frac{u’}{u’’} + \sqrt{\left( \frac{u’}{u’’}\right)^2+\sigma^2_x} $$ 您可以完全有效地將此表達式用於 $ R $ ，但我想你明白為什麼要使用更簡單的那個。