魯濱遜經濟與生產
面對這個問題的一點問題，做了一個類似的問題，但效用函式不是線性的，並且 MRS 依賴於商品（不僅僅是一個數字）——我不知所措。
問題：有兩個人 A 和 B，每個人都有一個時間單位，可以用於休閒或勞動（生產一種商品以供消費）。它們的效用函式分別為：
u A (l A ,c A ) = 6(1-l A ) + c A和 u B (l B ,c B ) = 10(1-l B ) + c B
其中 1-l A/B是 A/B 的閒暇時間。此外，我們知道 A 每 1 單位勞動時間可以生產 4 單位消費品，B 可以每 1 單位勞動時間生產 24 單位消費品。
我轉換成的最後資訊：
c A = f(l A ) = 4l A和 c B = g(l B ) = 24l B
（其中 f 和 g 是一些生產函式）
我被要求找到一組帕累托最優的消費和勞動力分配。
我假設我需要從 MRS A = -6（或 6？永遠不知道何時使用負/正？）和 MRS B = -10 開始。但是，我不確定我能從中得到什麼資訊？我假設無差異曲線是線，對嗎？並且它們總是會交叉，這是否意味著帕累托最優點集在 Edgeworth 框的邊界上？
另一方面，這些人最大化他們的效用，以便：
最大 6(1-l A ) + c A = 最大 6(1-l A ) + 4l A = 最大 6 - 2l A
和
最大 10(1-l B ) + c B = 最大 10(1-l B ) + 24l B = 最大 10 + 14l B
表示 l A = 0 和 l B = 1。即 A 將花費 1 單位時間用於休閒：1-l A = 1-0 = 1 並且 B 將花費 1 單位時間用於勞動。
另外兩個問題是：
- 找到同樣沒有嫉妒的帕累托最優分配。
- 當 A 每 1 單位勞動時間可以生產 7 單位商品時，分析將如何進行。
但我認為在對問題的第一部分提出一些提示後，我應該能夠回答它們。;)
提示 1：所以我認為你將他們的生產技術替換為他們的實用程序是錯誤的：當你從 $ \max 6(1-l_A)+c_A $ 到 $ \max 6(1-l_A)+4l_A $ ，通過這樣做，你假設 $ A $ 只消耗她生產的東西。
提示 2：讓我給你一個帕累托最優分配： $ B $ 花費他的 $ 1 $ 小時工作以生產 24 個單位的消耗量，並將它們分配給 $ A $ 誰花 1 小時休閒。這種分配是可行的（考慮到技術，有足夠的資源去做），而且它是帕累托最優的，因為 $ A $ 是最幸福的，所以沒有辦法改善 $ A $ ，並且為了提高 $ B $ , 你必須減少 $ A $ 的效用。當然，這種分配不是無嫉妒的，而是一種帕累托最優分配。
提示 3：我會首先找到所有可能的分配，然後查看哪些是帕累托，然後哪些是無嫉妒的。
我認為 edgeworth 盒子在這裡不會有幫助，因為經濟中只有一種商品是可交換的。根據 1 的效用函式，他總是希望將他的全部時間禀賦分配給休閒。因此，他在消耗少於 1 個勞動力的情況下消費正數量的物品的任何分配都是無效的，因為他總是可以選擇通過將正數量的物品轉化為閒暇來增加他的效用並增加他的效用。類似地，您可以推理 B。帕累託有效分配的集合是這樣的 (1-La, Ca, La)
1 消耗 (1,C*,0),
- 2 消耗 (0,24-C*,1),
- 1 消耗 (0,0,1)
- 2 消耗 (0,28,1)
1 不會羨慕 2 的分配，只有當
和 B 不會羨慕 A 的分配，如果
。因此，沒有令人羨慕的免費分配。當 A 可以用 1 個單位的勞動力生產 7 個單位時，分析會發生變化。現在，A 總是喜歡把所有的時間都花在勞動上。因此，A 消耗正量閒暇的任何分配都是無效的。現在的帕累託有效分配集是這樣的
- 1 消耗 (0,C*, 1)
- 2 消耗 (0,31-C*,1)
只有當
B 不會嫉妒 A 的分配時，A 才會嫉妒 B 的分配，
因此，唯一不嫉妒的分配是 (0,31/2,1),(0,31/2,1)。
