拉格朗日函式的設置
考慮一個簡單的消費者問題：
最大限度 $ u(X) $ 英石 $ \sum_i^l p_i x_i\leq \sum_i^l p_i w_i $
$ w $ 是初始禀賦。
我們可以設置拉格朗日函式來解決這個問題。
$ L=u(X)+\lambda ( \sum_i^l p_i w_i +\sum_i^l p_i x_i) $
但有些人可能會將拉格朗日函式設置為不同的方式。
$ L=u(X)+\lambda ( \sum_i^l p_i x_i -\sum_i^l p_i w_i) $
除拉格朗日乘數符號外，計算結果相同 $ \lambda $
對於消費者的問題，哪種方式是正確的？
評論後編輯：這個問題的第一個等式有一個錯字。 $ \sum_i^l p_i w_i +\sum_i^l p_i x_i $ 應改為 $ \sum_i^l p_i w_i -\sum_i^l p_i x_i $
在拉格朗日/KKT 的背景下如何寫拉格朗日是一個選擇問題。根據其編寫方式，目標函式和約束函式的梯度在（合適的）最優處是平行的或反平行的，並且拉格朗日乘數既不是負的也不是正的。歸根結底，它與拉格朗日 FOC 涵蓋的最優值相同（子集）。
然而，有一個標準選擇——在優化文獻中有時稱為標準形式——確保拉格朗日乘數 $ \lambda $ 是非負的。（例如，參見Boyd 和 Vandenberghe 的凸優化。）
在標準形式中，Lagranian 總是以改進目標函式的方式編寫。
經濟學教科書並不總是指出/遵循這一慣例。當它在經濟背景下被遵循時，拉格朗日乘數承認通常解釋為相應約束的邊際價值——一種“間接邊際效用”。例如，標準形式的拉格朗日乘數是間接效用函式關於財富的導數——它必須是非負的。
例如，考慮最大化問題 $$ \max_{g(x) \geq 0} u(x) $$ 在哪裡 $ u : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ 和 $ g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p $ . 例如，在消費者的問題中， $ u $ 是效用函式， $ p = 1 $ ， 和 $ g(x) = p^T(w-x) $ .
那麼拉格朗日的標準形式是 $$ L(x, \lambda) = u(x) + \lambda^T g(x). $$ 改善目標函式 $ u $ 什麼時候 $ \lambda \geq 0 $ . 這意味著，對於最大化問題， $ L(x, \lambda) \geq u(x) $ 對全部 $ x $ 和所有 $ \lambda \geq 0 $ . 因為你試圖最大化 $ u $ , 改進 $ u $ 意味著大於 $ u $ .
- 在標準形式中，拉格朗日乘數必須是非負的。即處於（合適的）最優值 $ x^* $ , 我們必須有 $ D u(x^) + \lambda^T D g(x^) = 0 $ 對於一些 $ \lambda $ 帶有非負條目。這很容易看出，尤其是在單一約束的情況下 $ p = 1 $ . 如果約束 $ g $ 是鬆弛的，那麼 $ \lambda = 0 $ . 如果 $ g $ 綁定，然後梯度 $ D g(x^) $ 必須指向內部 $ { g > 0 } $ . 另一方面， $ D u(x^) $ 不能指向內部——否則內部會有一個最優值。所以 $ D u(x^) $ 和 $ D g(x^) $ 是反平行的並且 $ \lambda > 0 $ .
- 如果最大化問題被表述為 $$ \max_{g(x) \leq 0} u(x) $$ 那麼拉格朗日的標準形式是 $ L(x, \lambda) = u(x) - \lambda^T g(x) $ . 再次， $ L $ 是這樣寫的，當 $ \lambda $ 是非負的， $ L $ 改善 $ u $ . 類似的最小化問題。
- 最優值的“適用性”意味著 $ D g(x^) $ 必須是滿級。這種類型的條件稱為約束條件*。一般 KKT 定理說，拉格朗日 FOC 是約束條件成立的局部最優的必要條件。當目標函式是凹或準凹（凸或準凸，用於最小化）時，則不需要約束條件，拉格朗日 FOC 足以實現全域最優。