證明一階條件對於效用最大化是必要和充分的
我有一個預算集
$$ B={x=(x_1,x_2)\in R^2_+ \mid 2\sqrt{x_1}+x_2\le y} $$
在哪裡 $ y>0 $ 是收入。
假設偏好是嚴格單調和凸的，我想證明一階條件對於效用最大化問題的內部解決方案是必要和充分的
我的解決方案
第一步：根據給定的預算集最大化效用
第二步：我計算一階條件
第三步：我使用hessian矩陣。
如果這個粗麻布矩陣 H 的行列式是負數，那麼我可以說 FOC 是必要的就足夠了。（這是真的？）
我的解決方案是這樣的
在哪裡$$ u_{11}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_1^2} $$
$$ u_{22}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_2^2} $$
$$ u_{12}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_1 \partial x_2} $$
$$ u_{21}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_1 \partial x_2} $$
我不知道這個答案是否足夠和正確。因為這個解決方案似乎還不夠。請分享您對我的解決方案的想法。
非常感謝。
考慮以下情況：消費者的偏好由效用函式表示 $ u(x_1, x_2) = x_1 + x_2 $ . 請注意，偏好是嚴格單調和凸的。現在讓收入為任意 $ y > 2 $ . 所以消費者的問題是：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & x_1 + x_2 \ \text{s.t.} & \ \ 2\sqrt{x_1} + x_2 \leq y \ & x_1\geq 0, \ x_2 \geq 0 \end{eqnarray*} $$ 現在讓我們設置拉格朗日： $$ \begin{eqnarray*} \mathcal{L}(x_1, x_2) = x_1+x_2 - \lambda(2\sqrt{x_1} + x_2 - y) +\mu_1x_1 + \mu_2x_2 \end{eqnarray*} $$ 以下是一階必要條件： $$ \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} & = & 1 - \dfrac{\lambda}{\sqrt{x_1}} + \mu_1= 0 \ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} & = & 1 - \lambda + \mu_2= 0 \ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} & = & y -2\sqrt{x_1} - x_2 \geq 0, \ \lambda\geq 0, \ \lambda(2\sqrt{x_1} + x_2 - y) = 0 \ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \mu_1} & = & x_1 \geq 0, \ \mu_1\geq 0, \ \mu_1x_1 = 0 \ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \mu_2} & = & x_2 \geq 0, \ \mu_2\geq 0, \ \mu_2x_2 = 0 \end{eqnarray*} $$ 檢查上述一組條件的解決方案之一是 $ x_1^* = 1, \ x_2^* = y -2, \ \lambda^=1, \ \mu_1^ = 0, \ \mu_2^* = 0 $ ,
但這不是上述效用最大化問題的解決方案。這是因為效用來自 $ (x_1^, x_2^) = (1, y-2) $ ， IE $ u(x_1^, x_2^) = 1 + y - 2= y-1 $ , 小於另一個負擔得起的消費束的效用 $ (x^{}_1, x^{}_2) = (0, y) $ 作為 $ u(x_1^{}, x_2^{}) = 0 + y = y $ 和 $ 2\sqrt{x_1^{}} + x_2^{} =y $ .
因此，一階條件不足以實現效用最大化。