證明 MR（邊際收益）的斜率對於壟斷者是負的
我想證明壟斷者的邊際收入是負的。
我們猜測 $ P(Q) $ 是 1 次齊次的，所以它是線性的（嚴格來說是仿射的）： $ P(Q)=a-bQ $ .
據我們所知， $ \frac{dP(Q)}{dQ} \lt 0 $ 因為需求曲線的斜率為負。
所以 $ \overbrace{Q\frac{dP(Q)}{dQ}+P(Q)}^{=MR} \lt P(Q) $ 和 $ MR \lt P(Q)\ \forall \ Q \ge 0 $ .
所以我想表明邊際收入不是恆定的（因為它在競爭市場上）而且還會減少。
$$ \frac{dMR}{dQ}=\frac{d\bigl(Q\frac{dP(Q)}{dQ}+P(Q)\bigr)}{dQ}=\frac{d\bigl(Q\frac{dP(Q)}{dQ}\bigr)}{dQ}+\frac{dP(Q)}{dQ}=2\frac{dP(Q)}{dQ}. $$
這種方法是否正確，是否足以證明 1. 壟斷者的 MR 斜率是負數，以及 2. 它正好是需求曲線斜率的兩倍？有更簡單/更合乎邏輯的解釋嗎？
你想展示 $$ \frac{dMR}{dQ} < 0. $$ 正如您在評論中指出的那樣 $$ \frac{dMR}{dQ}= Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ}. $$
線性案例
什麼時候 $ P(Q) = a - bQ $ ， 假設 $ a,b>0 $ ， 你得到 $$ \frac{dMR}{dQ}= Q \cdot 0 - 2b = - 2b< 0. $$
一般情況
$$ Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ} < 0 $$ 不適用於所有遞減函式 $ P(Q) $ . 一個反例是 $ P(Q) = Q^{-2} $ .
在這種情況下 $$ Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ} = Q(-2)(-3)Q^{-4} + 2(-2)Q^{-3} = 2Q^{-3} > 0. $$凹面案例
向下傾斜的充分（但非必要）條件 $ MR(Q) $ 是假設 $ P(Q) $ 是嚴格遞減和凹的。
在這種情況下 $ \frac{dP(Q)}{dQ} $ 是負數並且 $ \frac{d^2P(Q)}{dQ^2} $ 是非正數，因此它們的（加權）總和為負數，因此 $$ \frac{dMR}{dQ}= Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ} < 0. $$