證明總產出的邊際成本等於單個工廠產出的邊際成本
假設在所涉及的任何地方都存在最大值/最小值（即，滿足必要的次要條件）。 $ p $ 是逆需求， $ c_i(q_i) $ 是某個公司擁有的工廠的成本函式，並且 $ c(q) $ 是企業的總成本函式。
認為 $ q = q_1 + q_2 $ 我們必須最大化 $ \pi(q) = p(q)q - c_1(q_1) - c_2(q_2) $ . 最大化保持在 $ (q_1, q_2, q) $ 滿足 MR $ (q) $ = MC $ _1(q_1) $ = MC $ _2(q_2) $ 這樣 $ q = q_1 + q_2 $ .
我猜想在最優化的時候， $ c’(q) = c_1’(q_1) = c_2(q_2) $ 持有在哪裡 $ c(q) = \min[c_1(q_1) + c_2(q_2)] \text{ subject to } q = q_1+q_2 $ . 換句話說，MC $ (q) $ = MC $ _1(q_1) $ = MC $ _2(q_2) $ 在最佳點。
我如何證明這一點？
考慮 $ \min_{q_1,q_2} c_1(q_1)+c_2(q_2) $ 英石 $ q_1+q_2=q $ . 這個問題的解決方案是 $ (q_1^m(q),q_2^m(q)) $ 他們滿足 $$ \begin{equation} q_1^m(q)+q_2^m(q)=q \end{equation} $$ $$ \begin{equation} c_1’(q_1^m(q))=c_2’(q_2^m(q)) \end{equation} $$
考慮 $ \max_{q_1,q_2}p(q)q-c_1(q_1)-q_2(q_2) $
讓 $ \hat{q}_1 $ 和 $ \hat{1}_2 $ 成為解決方案。我們有
$$ \begin{equation} c_1’(\hat{q}_1)=c_2’(\hat{q}_2)=MR(\hat{q}_1+\hat{q}_2) \end{equation} $$
讓 $ \hat{q}:=\hat{q}_1+\hat{q}_2 $ . 什麼是 $ (q_1^m(\hat{q}),q_2^m(\hat{q})) $ ? 我聲稱它是 $ (\hat{q}_1,\hat{q}_2) $ 看到這個，插上 $ q=\hat{q} $ 和 $ q_1^m=\hat{q}_1 $ 和 $ q_2^m=\hat{q}_2 $ 進入前兩個方程。他們很滿意。所以， $ (q_1^m(\hat{q}),q_2^m(\hat{q}))=(\hat{q}_1,\hat{q}_2) $ .
問題的最後一部分是什麼 $ \frac{d}{dq}c(q) $ ? 這只是包絡定理的簡單應用。第一個問題的拉格朗日量是
$$ c_1(q_1)+c_2(q_2)+\lambda(q-q_1-q_2) $$
包絡定理說 $ \frac{d}{dq}c(q)=\lambda $ . 此外， $ c_1’(q_1^m(q))=c_2’(q_2^m(q))=\lambda $ . 所以， $ \frac{d}{dq}c(q)=c_1’(q_1^m(q))=c_2’(q_2^m(q)) $ . 最後，與 $ q=\hat{q} $ 我們有
$$ \frac{d}{dq}c(\hat{q})=c_1’(\hat{q}_1)=c_2’(\hat{q}_2) $$