公共物品的簡單一般均衡模型：直覺？

• 我們假設一個兩人經濟，用人 A 和 B 表示。物品 y 是一種普通的私人物品，每個人從分配這種物品開始 $ y^{A*} $ & $ y^{B*} $ 分別。
• 每個人可以直接消費一些 y，或者將其中的一部分用於生產單一的公共產品 x。捐款金額由下式給出 $ y_{s}^{A} $ 和 $ y_{s}^{B} $ ，公共物品的生產函式定義為 $$ x=f\left(y_{s}^{A}+y_{s}^{B}\right) $$
• 給出了這兩個人的結果實用程序： $$ \begin{array}{c}{U^{A}\left(x, y^{A *}-y_{s}^{A}\right)} \ {U^{B}\left(x, y^{B *}-y_{s}^{B}\right)}\end{array} $$
• 在這個問題中，有效資源配置的必要條件包括選擇公共物品訂閱的水平（ $ y^{A*} $ & $ y^{B*} $ ) 最大化，例如，對於 B 的任何給定水平的效用，A 的效用。拉格朗日表達式是 $$ \mathscr{L}=U^{A}\left(x, y^{A *}-y_{s}^{A}\right)+\lambda\left[U^{B}\left(x, y^{B *}-y_{s}^{B}\right)-K\right] $$ 其中 K 是 B 效用的恆定水平。max 的一階條件是 $$ \begin{aligned} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y_{s}^{A}} &=U_{1}^{A} f^{\prime}-U_{2}^{A}+\lambda U_{1}^{B} f^{\prime}=0 \ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y_{s}^{B}} &=U_{1}^{A} f^{\prime}-\lambda U_{2}^{B}+\lambda U_{1}^{B} f^{\prime}=0 \end{aligned} $$
• 這兩個方程的比較產生 $$ \lambda U_{2}^{B}=U_{2}^{A} $$ 當代入前面的等式時，最終結果是： $$ \frac{U_{1}^{A}}{U_{2}^{A}}+\frac{\lambda U_{1}^{B}}{\lambda U_{2}^{B}}=\frac{1}{f^{\prime}} $$或者更簡單地說， $$ M R S^{A}+M R S^{B}=\frac{1}{f^{\prime}} $$

對於此類商品，消費中的 MRS 必須反映所有消費者願意放棄以獲得更多 x 的 y 數量，因為每個人都將獲得額外 x 產出的收益。因此，每個人的 MRS 的總和應該等於生產中的 dy/dx（這裡由 $ \frac{1}{f’} $ ).

問：我在數學上遵循運算順序，但不理解粗體的陳述。

你可以把MRS當作支付意願（把MRS中的其他商品當作錢）。如果該物品是成本為 3 的私人物品，那麼您的支付意願應該為 3，因為您是為自己購買的。但是，所有支付者都使用公共物品，所以我們只需要支付意願之和等於 3。（您只是在分攤賬單）

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/33877