求解瓦爾拉斯需求、三個變數的效用和偏好凸性？
我被給 $ U(x,y,z) = x^\frac{2}{3}y^\frac{1}{3} + z $ . 我被要求解決以下問題：
(i) 證明這些偏好的凸性（凸性、嚴格凸性或兩者都不是？）
(ii) 求解瓦爾拉斯需求？
對於第 1 部分，我計算了邊界粗麻布矩陣的行列式並得到 $ \frac{320}{81}*\frac{1}{x^\frac{2}{3}y^\frac{4}{3}} $ . 在這裡我得出結論，如果 x 和 y 大於零（這不是我假設的），那麼行列式大於零，所以 $ U $ 必須是準凹的，因此偏好是凸的。它是否正確？
對於第 2 部分，我考慮了三個案例。
案例一：當 $ z = 0 $ 和 $ x,y > 0 $ . 這只是我們剩下的標準科佈道格拉斯的瓦爾拉斯。
案例2：當 $ x $ 或者 $ y = 0 $ 和 $ z > 0 $ . 所有的財富也都花在了 z 上。
案例3： $ x,y,z > 0 $ . 這是我無法計算的，也不知道如何進行。
注意：預算約束是標準的 $ P_1X+P_2Y+P_3Z = W $
對於案例 3：我設置了 Lagrangian 並使用了 Kuhn Tucker 條件：
- $ \frac{2}{3} $ * $ (\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} - \lambda P_1 \le 0 $
- $ \frac{1}{3} $ * $ (\frac{x}{y})^{\frac{2}{3}} - \lambda P_2 \le 0 $
- $ 1 - \lambda P_3 \le 0 $
- $ x[\frac{2}{3} $ * $ (\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} - \lambda P_1] = 0 $
- $ y[\frac{1}{3} $ * $ (\frac{x}{y})^{\frac{2}{3}} - \lambda P_2] = 0 $
- $ z[1 - \lambda P_3] = 0 $
- $ W - P_1X - P_2Y - P_3Z \ge 0 $
- $ \lambda [W - P_1X - P_2Y - P_3Z] = 0 $
氣勢磅礴 $ x, y, z > 0 $ 和瓦爾拉斯定律，我知道我可以將 1、2、3 和 7 等同於零。從本質上講，我最終得到了一個等式，它表明在最優邊際效用與價格比率下，每種商品的價格比率是相同的。
通過等式化簡後 $ \lambda $ ，我從 1、2 得到這個：
$ \frac{x}{P_2} = \frac{2y}{P_1} $ .
我的問題是我無法解決 $ z $ 因為我無法根據一個變數得到我的預算約束。
對於第 (i) 部分，您還應該完全嚴格地檢查邊界 Hessian 的所有主要主要次要的行列式，並確保它們具有交替的符號。不過，您的最終結論看起來是正確的。
對於第 (ii) 部分，回想一下瓦爾拉斯需求是受預算約束的效用最大化的解決方案。所以你應該設置一個拉格朗日，推導出庫恩-塔克條件，然後求解 $ x,y,z $ 作為價格和收入的函式。這些將是瓦爾拉斯的要求。