具有 n+1 家公司的 Stackelberg 均衡
市場上有 (n+1) 家公司（公司 0，公司 1，…，公司 n） $ n \ge 2 $ . 市場價格由逆需求方程給出 $ P = 100 - \sum_{i=0}^n q_i $ ， 在哪裡 $ \sum_{i=0}^n q_i $ 是市場的總產量，並且 $ q_i $ ; 是公司 i 生產的數量。為簡單起見，假設每個公司的成本為 0。廠商選擇他們的數量如下： (1) 廠商 0 選擇它的產量水平 $ q_0 $ (2) 在觀察了廠商 0 的選擇之後，剩餘的 n 家廠商同時選擇它們的產出。每個公司都希望最大化其利潤。這個市場的 Stackelberg 均衡是什麼？
我發現 SPNE={ $ q_0^*=50 $ , $ q_i=50/(n-1) $ } 對所有人 $ i\ge 1 $
但我不知道如何解決這個問題。
請幫我解決這個問題
編輯：我沒有看到這是一個兩階段的遊戲。我考慮過 $ n $ -我之前的回答中的舞台遊戲。這是新修改的答案：
領先企業表示為 $ F_0 $ 和下一個 $ n $ 公司由 $ F_i $ 在哪裡 $ i = 1,2, \cdots, n $ .
比方說 $ F_0 $ 選擇數量 $ q_0 $ . 第二階段基本上是企業之間的古諾競爭 $ F_1, \cdots, F_n $ . 我們將首先解決這個問題。
的利潤 $ F_i $ $ (i > 0) $ 是 $ \pi_i = (100 - Q)q_i $ 最大化在 $ q_i = \frac{1}{2} \left( 100 - Q_{-i} \right) $ 在哪裡 $ Q_{-i} $ 表示 $ Q - q_{i} $ .
顯然，最優 $ q_i = 100 - Q $ 這意味著它們都是平等的（對於 $ i > 0 $ ）。由此可以推導出 $ q_i = 100 - q_0 - nq_i \implies q_i = \frac{100 - q_0}{n+1} $ $ \forall \ i > 0 $ .
第一階段遊戲現在可以解決為$$ q_0 = \text{argmax}[\pi_1(q_0)] = \text{argmax}[P(Q)q_0] = \text{argmax}\left[\left(\frac{100 - q_0}{n+1}\right)q_0\right] = 50 $$
因此，剩餘的公司生產 $ \displaystyle q_i = \frac{50}{n+1} $ $ (i > 0) $ .