Stackelberg 與 3 家公司
我目前正在嘗試解決以下問題：
Stackelberg 與 3 家公司 假設在壟斷競爭市場上有 3 家公司。每個企業的邊際生產成本為 c。需求是 $ p(q) = A − Bq $ . 領導者做出生產決策 $ q_1 $ ，然後兩個追隨者同時決定他們的生產水平 $ q_2 $ 和 $ q_3 $ . 計算該經濟體中企業的產量，並將其與 3 家企業的 Cournot 結果和 2 家企業的 Stackelberg 結果進行比較。
我的作品
我嘗試使用以下方法解決問題：
領導者 （ $ q_1 $ )
$$ \begin{align} profit(q_1,q_2,q_3) &= (A - B(q_1+q_2+q_3))q_1 -cq_1 -F \ & = Aq_1 - B(q_1+q_2+q_3)q_1 -cq_1 -F\ & = Aq_1 - Bq_1^2 - Bq_2q_1 - Bq_3q_1 - cq_1 -F\end{align} $$
我取了關於的導數 $ q_1 $ 留給我這個： $$ profit(q_1,q_2,q_3)= A - 2Bq_1 - Bq_2 -Bq_3 -c $$
最後我只是試圖找到 $ q_1 $ :
$$ q_1 = \frac{A-C-Bq_2-Bq_3}{2B} $$ 放在 $ q_1 $ 進入方程並求解 $ q_2 $ 進而 $ q_3 $
問題：
答案表中解決方案的開頭如下所示：
解決方案 對於有兩個追隨者的 Stackelberg，在公司 1 採取行動後，代理 2 和 3 在知道 q1 的情況下同時採取行動。因此，公司 2 和 3 都最大化
$$ profit(q_i) = (A−B(q_1 +q_2 +q_3)−C)q_i ⇒ q_2 = q_3 = \frac{A − C}{3B} − \frac{q_1}{3} $$
問題： 正如您所看到的，我的工作與答案相去甚遠，我嘗試使用那裡的方法解決問題，但我真的不明白是 $ 3 $ 在 $ 3B $ 來自？以及我們為什麼要使用 $ q_i $ ? （我也不太明白為什麼我使用的方法不正確）
非常感謝您的幫助！
從第二階段開始，這只是公司 2 和公司 3 之間的古諾競爭。您可以通過設置公司 2 和公司 3 的一階條件並求解這兩個方程來解決納什均衡的問題，取 $ q_1 $ 如給定的。這會給你數量 $ q_2 $ 和 $ q_3 $ 按照 $ q_1 $ 然後您可以將其插入公司 1 的利潤函式中，然後您可以最大化*（即找到哪個 $ q_1 $ 公司 1 應該選擇確保第 2 階段的納什均衡對公司 1) 來說是可能的最有利的納什均衡*。所以，一步一步：
- 從第二輪開始，通過求解以下兩個方程找到納什均衡：
$$ \pi_2’(q_1,q_2,q_3)=0\ \pi_3’(q_1, q_2, q_3)=0 $$ 這會給你： $$ q_2=q_3=f(q_1) $$- 將其代入公司 1 的利潤函式，並最大化該表達式 $ q_1 $ 作為選擇變數。
在沒有固定或邊際成本的情況下，領導者獲得 $ \frac{a}{2} $ 的市場份額，下一個追隨者得到 $ \frac{a}{4} $ , 第三個得到 $ \frac{a}{8} $ 和 $ n^{th} $ 公司得到 $ \frac{a}{2^{n}} $ . 在進入者數量趨於 $ \infty $ ，新進入者有效地成為價格接受者。