替代性或支持性生產要素
給定功能： $ y=A K^\alpha L^\beta, A,\alpha,\beta >0 $
$ y=aK+bL^{0.5}, a,b>0 $
決定資本和勞動力是替代性的還是支持性的生產要素。如何解決這個問題？為了回答您可能提出的問題，我想強調一個事實，即這既不是我的家庭作業，也不是我需要送出的任何東西，而且我根本不知道如何回答這個問題，這就是為什麼我無法嘗試解決這個問題問題。
編輯：我的想法是在哪里以某種方式尋找 MRTS 曲線的斜率，如果為負，這將意味著如果不存在完美的替代品，那麼理論上它應該暗示支持因素，但是答案關鍵指出：
如果 $ \frac{\Delta MP_L}{\Delta K}>0 \rightarrow $ 支持的
如果 $ \frac{\Delta MP_L}{\Delta K}<0 \rightarrow $ 代替
如果 $ \frac{A\beta K^\alpha L^{\beta-1}}{A\beta \alpha K^{\alpha -1} L^{\beta-1}}>0 \rightarrow $ 替代品。
在這裡，我完全迷失了。
讓我們找到勞動的邊際產品， $ MP_L $ :
$$ \begin{align} MP_L \equiv \frac{\partial Y(K,L)}{\partial L} &=\frac{\partial }{\partial L}\left( aK + b L^{0.5} \right) \ &= 0.5\cdot b \cdot L^{-0.5} \end{align} $$ 現在發現 $ \frac{dMP_L}{dK} $ 微不足道： $$ \begin{align} \frac{dMP_L}{dK} &= \frac{d}{dK} \left( 0.5\cdot b \cdot L^{-0.5}\right) = 0 \end{align} $$ 我們看到它不依賴於資本。所以改變 $ MP_L $