利潤最大化問題解的存在性
我正在考慮這個利潤最大化問題（PMP）的解決方案存在的條件，即，
$ \max_{z \in R_+^{K-1}} pf(z) -wz $ ,
在哪裡 $ z \geq 0 $ ：輸入向量， $ p>0 $ : 產出價格， $ w \gg 0 $ ：輸入價格向量，和 $ f:R_+^{K-1} \rightarrow R_+ $ : 生產函式。
當然，如果生產集 $ Y $ 是緊緻的，通過 Weierstrass 定理，我們可以證明這個 PMP 存在一個解。但很多情況下， $ Y $ 是封閉的，但不是有界的。那麼對函式有什麼樣的假設 $ f $ 需要證明解決方案的存在，而不是魏爾斯特拉斯定理？
一種可能的方法是找到一個緊集 $ Z $ 並證明 PMP 有一個最優解當且僅當 PMP 有一個最優解 $ Z $ .
如果是這樣，我們可以通過以下問題替換 PMP。 $$ max_{z \in Z} ,,p f(z) - w z. $$ 如果 $ f $ 是連續的，如果 $ Z $ 是緊緻的，解的存在性由 Weierstrass 定理得出。
一個充分條件的例子 $ Z $ 存在就是假設 $ f(0) = 0 $ 並且存在一個輸入電平 $ z_0 $ 這樣對於所有人 $ z > z_0 $ , $ p f(z) - w z < 0 $ . 換句話說，有一個輸入電平 $ z_0 $ 因此，具有較高的投入水平將產生負利潤。然後我們可以設置 $$ Z = {z \in \mathbb{R}^{K-1}_+: z \le z_0}. $$ 請注意 $ Z $ 緊湊。為了使它起作用，我們需要證明 PMP 有一個最優解當且僅當它在 $ Z $ .
要知道這是真的，首先要注意 $ z = 0 $ 是 PMP 的一個可行解，它也在 $ Z $ . 因此，PMP 的最優解總是會產生大於或等於 0 的利潤，這意味著沒有解 $ z $ 到 PMP 將在集合之外 $ Z $ .