轉換預期效用函式
我正在使用以下定理：
為了更好地理解我如何轉換預期的效用函式。
一個可以使用的例子：
我想證明這裡表示的偏好滿足三個公理
$$ A1,A2,A3 $$表徵預期效用。$$ order, continuity, and independence $$ 在哪裡
$$ E_{\pi} \mu = \sum_{z \in Z} u(z)\pi(z) $$ 我想要做的是轉換給定的 EUF st：
$$ U(\pi) = h + k…. $$ $$ U(\pi)= k… $$ 然後乘以 $ \frac{1}{k} $ 並使用 $ ln $
$$ U(\pi) = \sum_{i=1}^n \pi_i ln(\alpha_i) $$ 編輯
也許這實際上是解決方案。任何回饋？
這不是家庭作業。我正在學習，因為我不太了解這一點
是的。你正在做的是一個解決方案。
這裡的關鍵思想是二元關係必然是序數關係，並且不包含重要資訊。對錶示進行（嚴格正的）單調變換保留了偏好結構。所以，是的，你已經展示了 $ U(\cdot) $ （來自範例）通過單調變換與具有索引的線性函式相關聯 $ ln(\alpha) $ 因此，根據馮諾依曼摩根斯坦定理，滿足歐盟公理。
現在，這裡經常有一點令人困惑，因為強調歐盟代表的獨特性。但是EU表示不是唯一的表示，它是唯一的線性表示。雖然這在定理中已明確描述，但我認為在許多人的頭腦中它與通用唯一性混為一談。
總而言之，通過選擇特定的函式形式（或規範化），可以使偏好具有基本關係。但是，這只是一種解釋，而不是二元關係所固有的東西，即使是滿足獨立公理的關係。
我想說任何單調變換都可以應用於效用函式，因為它們保留了 A1-A3 的特徵；例如見https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function。