兩個賣家，一個買家拍賣
考慮下面的遊戲。有兩個賣者，每個賣者可以生產一個單位的不可分割的商品。為賣方 i 生產單位的成本是 $ c_i $ . 有一個買家希望最多購買一個單位。單位對買方的價值是 v = 2。買方將兩個賣方的成本視為獨立抽取
$$ 0, 1 $$. 考慮以下兩階段博弈。買方提出價格 p ∈$$ 0, 1 $$給兩個賣家。然後每個賣家同時做出回應，表明他是否願意以該價格出售。如果沒有賣家願意出售，那麼交易就不會發生，每個賣家和買家都會收到零效用。如果恰好有一位交易者願意出售，那麼買方會以買方提議的價格 p 從該賣方那裡購買該商品。如果兩個賣家都願意出售，則翻轉一枚公平的硬幣以確定哪一個出售給買方，付款再次是買方提出的價格 p。 a) 每個賣家的最優策略是什麼？
b) 建立買方優化問題並確定該博弈的完美貝氏-納什均衡。
c) 在這個均衡中買者的預期剩餘是多少？
d) 或者，買方可以安排次價拍賣。即，雙方都送出投標，支付給較低投標人的價格是較高投標人的投標。在這次拍賣中找到平衡點。簡要說明你的答案。
e) 計算買方在第二次價格拍賣中的預期盈餘，並與上述遊戲中他設定價格的預期盈餘進行比較。
f) 假設您是類型 c 的賣家。在第二次價格拍賣和公佈價格法下，您的預期盈餘是多少？
對於每個賣家來說，如果出價等於或高於成本，自然策略是出售，如果出價低於成本，則不出售。
賣方提供的預期效用 p ∈
$$ 0,1 $$是 (1−p)p。這在 p=1/2 處最大化。因此在 PBE 中，賣方將提供 p=1/2，買方將接受。它是否正確？然後，這將為該均衡中的買方提供 3/2 的預期盈餘。
我覺得你有點困惑。遊戲有以下結構。
- 自然吸引 $ c_1, c_2 \sim U[0,1] $ ，這僅向賣方透露，而不向買方透露。
- 買方提出價格 $ p \in [0,1] $
- 賣家決定以價格出售商品 $ p $ . 如果至少有一個賣家同意價格，則該商品被出售。
您需要使用反向歸納來解決這個問題。
最後一個階段很簡單：每個賣家 $ i $ 願意出售商品，如果 $ p \ge c_i $ .
不，讓我們進入第 2 階段。如果商品被售出，買方將獲得價值 $ v - p $ . 如果商品沒有出售，價值是 $ 0 $ 如果商品沒有出售。表示 $ \pi(p) $ 商品以價格出售的機率 $ p $ ，這給出： $$ \pi(p) \times (v - p) + (1- \pi(p)) \times 0 = \pi(p) \times (v - p). $$
唯一剩下的就是確定 $ \pi(p) $ 然後針對以下方面進行優化 $ p $ .
確定 $ \pi(p) $ 首先計算商品不會被出售的機率可能更容易。如果出現這種情況 $ p > c_1 $ 和 $ p > c_2 $ . 為了 $ p \in [0,1] $ 這種情況發生的機率是 $$ \Pr[p > c_1 \text{ and } p > c_2] = \Pr[p > c_1] \times \Pr[p > c_2] = (1-p) \times (1-p) = (1-p)^2. $$ 這使用了以下事實 $ c_1 $ 和 $ c_2 $ 是獨立的。
鑑於此，至少有一個賣家願意出售的機率由下式給出 $$ \pi(p) = 1 - (1-p)^2. $$
因此，買方的效用由下式給出： $$ (1 - (1-p)^2)\times (v - p). $$ 這必須相對於最大化 $ p $ .