兩階段效用最大化問題
其實我不知道如何解決這種效用最大化問題，只知道使用FOC和預算約束來解決需求。如果有人告訴我面臨此類問題的程序，我將不勝感激。
考慮一個準線性效用函式的維基百科定義（取自 Hal Varian 的書）
$$ u(w,x_1,…,x_n) = w + h(x_1,…,x_n), $$
在哪裡 $ h $ 是嚴格凹的。
本練習中的範例根據此定義不是準線性效用函式，因為 $ h(x_1,…,x_n) $ , 在這種情況下是 $ x_2^\alpha x_3^{1-\alpha} $ 不是嚴格凹的，而是凹的。這是因為 $ x_2^\alpha x_3^{1-\alpha} $ 具有總和為 1 而不是小於 1 的指數。
正在考慮的情況更接近於完美替代的情況。但是，它有點複雜，因為其中一種商品是複合商品。
為了解決這個練習，你需要知道兩件事：
A. 你需要知道如何解決完美替代的情況
B.你需要知道如何解決CD偏好的情況
首先考慮完全替代的情況
$$ \max_{x_1,z}\ \ u(x_1,z) = x_1 + \bar a z \ s.t. \ \ x_1 + p_zz = I $$
每花費一枚硬幣 $ x_1 $ 代理獲得 1 個效用點，並且對於每個 $ p_z $ 花費的硬幣 $ z $ 代理得到 $ \bar a $ 效用點，相當於 $ \bar a/p_z $ 每個硬幣的效用點。因此，如果 $ 1>\bar a/p_z $ 代理只會買 $ x_1 $ 和需求 $ x_1 $ 簡直就是 $ I $ 單位，因為價格 $ x_1 $ 被標準化為 $ 1 $ . 如果 $ 1<\bar a/p_z $ 代理只會買 $ z $ 和需求 $ I/p_z $ . 最後，如果 $ 1=\bar a/p_z $ 代理人無動於衷 $ x_1 $ 和 $ z $ 和需求 $ x_1 $ 那麼是任何數量的單位 $ [0,I] $ 隨著需求 $ z $ 存在 $ (I-x_1)/p_z $ .
接下來考慮 CD-preferences 的情況
$$ h(x_2,x_3) = \left(\frac{x_2}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{x_3}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha} $$
請注意，該函式是 1 次同質的，因此具有恆定的規模回報。在這種情況下，每個效用點都有一個價格，可以通過解決支出最小化問題找到
$$ \min_{x_2,x_3} \ \ p_{2}x_2 + p_{3} x_3 \ s.t. \ \ \left(\frac{x_2}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{x_3}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha} = z $$
當解決這個問題時，你會得到支出函式
$$ E_h(p_{2},p_{3},z) = (p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha}) z, $$
它告訴你對於每個效用點 $ z $ 消費者必須支付 $ p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha} $ . 因為支出與 $ z $ 比例常數為 $ p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha} $ 你可以設想 $ p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha} $ 作為每個效用點的價格 $ z $ . 因此我採用定義
$$ p_z := p_{2}^\alpha p_{3}^{1-\alpha}, $$
在這種情況下，支出函式變為
$$ E_h(p_{2},p_{3},z) = p_z z. $$
現在讓我們最終考慮作業中的問題
$$ \max_{x_1,x_2,x_3} \ \ x_1 + x_2^\alpha x_3^{1-\alpha} \ s.t. \ \ x_1 + p_2x_2 + p_3x_3 = I. $$
您可以將效用函式的第二個和除以 $ \alpha^\alpha $ 和 $ (1-\alpha)^{1-\alpha} $ 要得到
$$ x_1 + \bar a \underbrace{\left[\left(\frac{x_2}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{x_3}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}\right]}_{:=z} = x_1 + \bar a z $$
在哪裡 $ \bar a=\alpha^\alpha (1-\alpha)^{1-\alpha} $ .
您現在可以看到代理面臨著花錢購買的選擇 $ x_1 $ 每一枚硬幣獲得一個效用點或花錢購買 $ x_2 $ 和 $ x_3 $ 得到 $ \bar a $ 每效用點 $ p_z = p_2^\alpha p_3^{1-\alpha} $ 硬幣。使用完美替代案例的邏輯，如果
$$ 1>\bar a/p_z = \alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}/(p_2^\alpha p_3^{1-\alpha}) $$
消費者只花錢 $ x_1 $ 需求是 $ x_1(p_1,p_2,p_3,I) = I $ 儘管 $ x_2(p_1,p_2,p_3,I) = x_3(p_1,p_2,p_3,I) =0 $ .
在這種情況下
$$ 1<\bar a/p_z = \alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}/(p_2^\alpha p_3^{1-\alpha}) $$
消費者把所有的錢都花在 $ z $ 這是 $ x_2 $ 和 $ x_3 $ 並且一如既往地使用 CD 偏好 $ \alpha $ 份額花在 $ x_2 $ 和 $ (1-\alpha) $ 分享 $ x_3 $ 所以需求是
$ x_1(p_1,p_2,p_3,I) = 0 $ 儘管 $ x_2(p_1,p_2,p_3,I) = \frac{\alpha I}{p_2} $ 和 $ x_3(p_1,p_2,p_3,I) =\frac{(1-\alpha)I}{p_3} $ .
最後，在這種情況下
$$ 1=\bar a/p_z = \alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}/(p_2^\alpha p_3^{1-\alpha}) $$
消費者如何分配支出並不重要 $ x_1 $ 和 $ z $ , 但任何花費在 $ z $ 花費在 $ x_2 $ 和 $ x_3 $ 並且必須分佈在 $ x_2 $ 和 $ x_3 $ 最佳。因此，需求 $ x_1(p_1,p_2,p_3,I) \in [0,I] $ 和 $ x_2(p_1,p_2,p_3,I) = \frac{\alpha(I-x_1)}{p_2} $ 儘管 $ x_3(p_1,p_2,p_3,I) = \frac{(1-\alpha)(I-x_1)}{p_3} $ .
您將無法使用 FOC，因為它們無法捕捉消費者選擇將所有錢花在 $ x_1 $ 或組合好的 $ z $ 那是 $ x_2 $ 和 $ x_3 $ .