在什麼條件下，成本函式在價格上是嚴格凹的？
將單位成本函式定義為 $$ c(w) = \min_{z\geq 0} w\cdot z $$ 受制於 $ f(z)\geq 1 $ . 在哪裡 $ w $ 是輸入價格的向量， $ z $ 是輸入向量和 $ f $ 是生產函式。我們從標準結果中知道 $ c $ 是凹的並且是一階同質的，但我想在 $ f $ 這樣 $ c $ 也是嚴格凹的。
正如 Bertrand 所指出的，嚴格凹度必然會沿著通過原點的任何光線失效。但是對於標準化的價格體系，可以有嚴格的凹度。
所以讓 $ f:\mathbb{R}^n_+\to\mathbb{R}+ $ 成為生產函式。我們讓 $ \Delta^n{++} $ 是所有點的集合 $ \mathbb{R}^n $ 所有座標都嚴格為正且總和為 1。有可能有一個嚴格凹的成本函式 $ \Delta^n_{++} $ .
**命題：**假設 $ f $ 是可微的並且嚴格遞增 $ \mathbb{R}{++} $ ， 那 $ f(z)\geq 1 $ 沒有 $ z $ 在的邊界上 $ \mathbb{R}+ $ ， 然後 $ f(z)\geq 1 $ 對於一些 $ z $ . 然後函式 $ c:\Delta^n_{++}\to\mathbb{R}{++} $ 由$$ c(w) = \min{z\geq 0} w\cdot z $$ 受制於 $ f(z)\geq 1 $ 是明確定義且嚴格凹的。
**證明：**那 $ c $ 定義明確是直截了當的。假設，任何 $ z $ 這解決了一些最小化問題 $ w $ 必須是嚴格積極的。自從 $ f $ 是可微的並且遞增的，梯度 $ f $ 在 $ z $ 必須與 $ w $ , 特別是，沒有一個點是一個以上的最小化器 $ w $ .
現在讓 $ w,w’ $ 是兩個不同的元素 $ \Delta^n_{++} $ 和 $ 0<\alpha<1 $ . 讓 $ z $ 解決最小化問題 $ w $ ， 讓 $ z’ $ 解決最小化問題 $ w’ $ ， 然後讓 $ z’’ $ 解決最小化問題 $ \alpha w+(1-\alpha)w’ $ . 根據我們之前的展示， $ w\cdot z’’>w\cdot z $ 和 $ w’\cdot z’’>w’\cdot z’ $ . 所以， $$ c(w’’)=\alpha w+(1-\alpha)w’\cdot z’’>\alpha w\cdot z+(1-\alpha)w’\cdot z’=\alpha c(w)+(1-\alpha)c(w’). $$ $ \square $
應該注意的是，需要一個保證內部解決方案的假設。如果根本不使用某些投入，提高其價格將使相同投入組合的成本最小化，而隨著價格的變化，必然會違反嚴格的凹性。如果沒有可微性假設，可能會發生相同的捆綁對多個價格以及任何凸組合的成本最小化。這也將導致違反嚴格的凹度。