效用最大化問題設置。
考慮一個消費者，其偏好可以用以下效用函式表示：
$$ u(x_1,x_2)=\dfrac{x_2}{(1+x_1)^2}. $$ 4. 假設代理人的收入為 $ y=5 $ . 一單位商品的價格 $ 1 $ 是 $ p_1=1 $ . 對於每個商品單位 $ 1 $ 代理購買，他有資格購買最多一單位的商品 $ 2 $ 以額外的價格 $ p_2=1 $ . 換句話說，購買一單位商品 $ 2 $ 代理商必須先購買一個單位的商品 $ 1 $ . 代理人必須消費他購買的一切。使用這些資訊，畫出可行集。是凸的嗎？派生效用最大化捆綁包。 5. 如果代理人不必消費他購買的所有東西（“免費處置”），您對問題 4. 的回答有何變化？
問題 (4)
預算約束為
$$ x_1p_1+x_2(p_1+p_2)=y $$
我的問題是
1）我的預算約束是真的嗎？
2）預算約束允許免費處置和不允許有什麼區別？
我不明白第（5）部分。
我的解決方案也已發布。
非常感謝。
考慮一個消費者，其偏好可以用以下效用函式表示：
$$ u(x_1,x_2)=\dfrac{x_2}{(1+x_1)^2}. $$ 4. 假設代理人的收入為 $ y=5 $ . 一單位商品的價格 $ 1 $ 是 $ p_1=1 $ . 對於每個商品單位 $ 1 $ 代理購買，他有資格購買最多一單位的商品 $ 2 $ 以額外的價格 $ p_2=1 $ . 換句話說，購買一單位商品 $ 2 $ 代理商必須先購買一個單位的商品 $ 1 $ . 代理人必須消費他購買的一切。使用這些資訊，畫出可行集。是凸的嗎？派生效用最大化捆綁包。 5. 如果代理人不必消費他購買的所有東西（“免費處置”），您對問題 4. 的回答有何變化？
對於問題 4：
消費者的效用最大化問題是：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \ \text{s.t.} & \ \ x_1+x_2 \leq 5 \ \text{and} & \ \ 0 \leq x_2 \leq x_1 \end{eqnarray*} $$ 這是消費者的約束集，以及一些無差異曲線：
觀察到約束集是凸的，消費者並沒有將他的所有收入都花在最優狀態。他的最優消費束是 $ (x_1, x_2) = (1,1) $ .
對於問題 5：
消費者的效用最大化問題（免費處置）是：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2, b_1, b_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \ \text{s.t.} & \ \ b_1+b_2 \leq 5 \ & \ \ 0 \leq b_2 \leq b_1 \ \text{and} & \ \ 0 \leq x_1 \leq b_1, 0 \leq x_2 \leq b_2\end{eqnarray*} $$ 這裡 $ b_1 $ , $ b_2 $ 表示消費者購買的兩種商品的數量，並且 $ x_1 $ , $ x_2 $ 表示消耗量。在這種情況下，消費者將嘗試最大化他對商品 2 的消費 $ (x_2) $ 通過購買盡可能多的商品 2 $ (b_2) $ 盡他所能。顯然，這個效用最大化問題的解決方案是 $ b_1 = b_2 = x_2 = 2.5, x_1 = 0 $ .
對於 Q 4，這是一種使用拉格朗日方法解決優化問題的方法：
給定消費者的效用最大化問題：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \ \text{s.t.} & \ \ x_1+x_2 \leq 5 \ \text{and} & \ \ 0 \leq x_2 \leq x_1 \end{eqnarray*} $$ 我們設置拉格朗日如下：
$ \mathcal{L}(x_1, x_2) = \dfrac{x_2}{(1+x_1)^2} - \lambda(x_1+x_2-5) +\mu_1(x_1-x_2)+ \mu_2x_2 $
最優的必要條件如下：
$ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \dfrac{-2x_2}{(1+x_1)^3} - \lambda + \mu_1 = 0 $
$ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \dfrac{1}{(1+x_1)^2} -\lambda - \mu_1 + \mu_2 = 0 $
$ x_1+x_2 \leq 5 $ , $ \lambda \geq 0 $ 和 $ \lambda(x_1+x_2-5) = 0 $
$ x_1 \geq x_2 $ , $ \mu_1 \geq 0 $ 和 $ \mu_1(x_1-x_2) = 0 $
$ x_2 \geq 0 $ , $ \mu_2 \geq 0 $ 和 $ \mu_2x_2 = 0 $
解決上述系統，我們得到
$ x_1 = 1 $ , $ x_2 = 1 $ , $ \mu_1 = \frac{1}{4} $ , $ \mu_2=0 $ , $ \lambda = 0 $
或者，對於 Q 4，該問題也可以轉換為單變數優化問題。這是因為個人總是會消耗等量的 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 處於平衡狀態。替代 $ x_2=x_1 $ 產量：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_2)^2} \ \text{s.t.} & \ \ 0 \leq x_2 \leq 2.5 \end{eqnarray*} $$ 區分 $ \dfrac{x_2}{(1+x_2)^2} $ 關於 $ x_2 $ 給出以下必要條件
$ \dfrac{(1+x_2)^2 - 2(1+x_2)x_2}{(1+x_2)^4} = \dfrac{1-x_2^2}{(1+x_2)^4} = 0 $
產生 $ x_2 = 1 $ ，以及對應的值 $ x_1 = 1 $ .
