具有兩個消費者和 3 種商品的效用可能性邊界
我正在嘗試解決以下問題：
考慮一個具有三種商品和兩個擁有個人禀賦的家庭的純交換經濟：
$$ e_1=(1,2,3), e_2=(3,2,1), $$
分別和效用函式
$$ u_1(x_{11},x_{12},x_{13})=x_{11}+2x_{12}+3x_{13} $$和$$ u_2(x_{21},x_{22},x_{23})=3x_{21}+2x_{22}+x_{23} $$ 分別。
以下哪個是效用可能性邊界？選項：
一種。 $ \displaystyle \max\left{ u_1+\frac{u_2}{2}, u_1 + u_2, \frac{u_1}{2} +u_2 \right} = 32 $
B. $ \displaystyle \max\left{ u_1+\frac{u_2}{3}, \frac{3}{4} u_1 + \frac{3}{4} u_2, \frac{u_1}{3} +u_2 \right} = 24 $
C。 $ \displaystyle \max\left{ u_1+\frac{u_2}{3}, u_1 + u_2, \frac{u_1}{3} +u_2 \right} = 24 $
D. 以上都不是
我的嘗試：
我嘗試通過一次取兩種商品來計算帕累托最優分配。我發現在好之間 $ 1 $ 好的 $ 2 $ ，帕累託有效分配是： $$ x_{21}= 4 \quad \text{or} \quad x_{12} = 4 $$
同樣，好之間 $ 2 $ 好的 $ 3 $ ， 我發現：
$$ x_{22}= 4 \quad \text{or} \quad x_{13} = 4 $$ 是帕累托最優的。
同樣，好之間 $ 1 $ 好的 $ 3 $ ， 我發現：
$$ x_{21}= 4 \quad \text{or} \quad x_{13} = 4 $$ 是帕累托最優的。
我還觀察到好人之間的偏好 $ 1 $ ， 好的 $ 2 $ 好的 $ 3 $ 個人 1 是：
$$ \text{good } 3 > \text{good } 2 > \text{good } 1 $$
而那些個人 $ 2 $ 是：
$$ \text{good } 1 > \text{good } 2 > \text{good } 3 $$
現在我考慮以下分配：
$$ ((x_{11},x_{12},4), (x_{21},x_{22},0)) $$
而事實是 $$ x_{11} + x_{21} = 4 $$ $$ x_{12} + x_{22} = 4 $$
我發現：
$$ u_1 = x_{11}+2x_{12}+3x_{13} = x_{11}+2x_{12} + 12 $$
$$ u_2 = 3x_{21}+2x_{22}+x_{23} = 3x_{21}+2x_{22} $$
$$ \implies u_1 + u_2 /3 = 16 + 2x_{12} + 2/3 x_{22} $$ $$ \implies u_1 + u_2 /3 = 16 + 2/3(3x_{12} + x_{22}) $$ $$ \implies u_1 + u_2 /3 = 16 + 2/3(2x_{12} + 4) $$
$$ \implies u_1 + u_2 /3 \le 24 $$ 因為 $ x_{12} \le 4 $ .
同樣，我考慮分配：
$$ ((0,x_{12},x_{13}), (4,x_{22}, x_{23})) $$
並發現：
$$ u_1 /3 + u_2 \le 24 $$
我被困在這裡。我無法看到如何將它從給定的選項中獲取。請提示我如何做。
謝謝您閱讀此篇。
效用可能性邊界 (UPF) 繪製了在給定偏好和總資源的情況下可以實現的最大效用總組合。為了修正想法，假設我們正在繪製 $ u_1 $ 在裡面 $ y $ 協調和 $ u_2 $ 在裡面 $ x $ 協調。找到 UPF 的最簡單方法是從單個代理開始，比如代理 1 並將所有資源給他，所以分配 $ (4,4,4) $ 他的效用將是 24，所以這一點， $ (0,24) $ ，在飛機上絕對是 UPF 的一部分（順便說一下，這個計算已經排除了選項 $ a $ ）。現在，認為你要減少代理 $ 1 $ 的效用以增加代理 $ 2 $ 的效用。由於我們正在描述前沿，您想考慮從玩家那裡轉移一些資源的最佳方式是什麼 $ 1 $ 頂層 $ 2 $ . 想了想，顯然最好的還是帶走一些好的 $ 1 $ 來自玩家 $ 1 $ 因為他只會輸 $ 1 $ util 而其他玩家獲得 $ 3 $ 實用程序。因此，要點 $ (3,23) $ 也是一部分 $ UPF $ 請注意，連接這兩個點的線是 $ u_1+\frac{u_2}{3}=24 $ ,（不幸的是，這種認識並沒有縮小可能的答案，因為 $ b $ 和 $ c $ 分享這個方程作為它的第一個參數）。
現在，這個點是通過將商品 1 從代理 1 移動到代理 2 找到的，但是，只有 4 個這樣的單元，所以代理 2 擁有商品 1 的所有單元後，為了不斷增加她的效用，最有效的轉移是從代理人 1 那裡拿走他喜歡的商品 2 的一些單位。這裡代理 1 的損失等於代理 2 的收益，所以我們應該用一條等係數的線來定義： $ \alpha u_1+\alpha u_2=C $ 兩個選項都有這種格式，所以我們只需要確定哪個是正確的，因為常數是 24。
注意點 $ x_1=(0,4,4) $ 和 $ x_2=(4,0,0) $ 是這條線的一部分，如果我們計算 $ u_1(0,4,4)+u_2(4,0,0)=32\neq 24 $ ， 但 $ \frac34 u_1(0,4,4)+\frac 34u_2(4,0,0)=24 $ ， 如預期的。你可以得出結論，答案是 $ b $ .
這 $ \max $ 操作員確保當您從一個代理轉移到另一個代理的商品類型發生變化時，圖表具有正確的“扭結”點。