單峰偏好的效用表示

對實數集的單峰偏好（峰值在某個有限點）是否總是具有效用表示？

如果是，請您提示證明或參考資料。

這個結果是否可以推廣到多維單峰性？

沒有。基本上，您可以編碼一種形式的字典偏好，這可能是不可表示偏好的最熟悉的例子，作為單峰偏好 $ \mathbb{R} $ .

定義 $ \succeq $ 以便 $ x\succeq y $ 確切地說，如果 $ |x|<|y| $ 或者 $ |x|=|y| $ 和 $ x\leq y $ . 基本上，越接近峰值 $ 0 $ 一個數字更好，如果是平局，左邊的數字 $ 0 $ 更好。

為了矛盾起見，假設存在效用表示 $ v:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ 的 $ \succeq $ . 對於每個 $ r\in\mathbb{R}{++} $ （嚴格的正數），讓 $ q_r $ 是區間內的有理數 $ \big(v(r),v(-r)\big) $ . 因此 $ r\neq r’ $ , $ \big(v(r),v(-r)\big)\cap\big(v(r’),v(-r’)\big)=\emptyset $ ，我們有一個注射 $ r\mapsto q_r $ 從 $ \mathbb{R}{++} $ 到 $ \mathbb{Q} $ ，這是不可能的，因為 $ \mathbb{R}_{++} $ 是不可數的並且 $ \mathbb{Q} $ 是可數的。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/39920