具有擬線性函式的瓦爾拉斯均衡
有一個兩人交換經濟
每個代理都有以下實用程序 $ u_i(x_i,y_i)=v(x_i)+y_i $ 代理 $ i={A,B} $
假使，假設 $ v $ 是具有連續一階導數的嚴格凹增函式。 $ v(0)=0 $ 和 $ v(x)<1 $ .
代理人 A 有禀賦 $ (1,10) $ . 並且代理B有禀賦 $ (0,10) $ .
對於每個帕累託有效分配，建議我們如何改變禀賦，以使問題中的帕累託有效分配成為瓦爾拉斯均衡。
我發現帕累托最優分配集為
$$ v’(x_A)=v’(1-x_B) $$ $$ y_A+y_B=20 $$
我還發現瓦爾拉斯均衡集為 $ {(x^_A, y^_A)=(1/2, 10+\frac{P_x}{2P_y}), (x^_B, y^_B)=(1/2, 10-\frac{P_x}{2P_y})} $ 與瓦爾拉斯均衡價格比率
$ \frac{P_x}{P_y}= min{v’(x_A),v’(x_B)} $
如果 $ y^*_A>0 $ 然後 $ \frac{P_x}{P_y}= v’(x_A) $
如果 $ y^_A=0 $ 然後 $ \frac{P_x}{P_y}> v’(x_A) $ 所以， $ x^_A> x^*_A $
我只能找到瓦爾拉斯和帕累托最優分配。但我不確定。我不明白這些問題。我怎樣才能顯示這個問題。所有幫助將不勝感激。非常感謝。
*重複的問題
首先要注意的是什麼時候 $ v’(x)=v’(1-x) $ ?, 這只有在 $ x=1-x $ 或者 $ x=1/2 $ . 這源於嚴格的凹度 $ v $ , $ v’ $ 正在減少，所以 $ v’(x)>v’(y) $ 每當 $ x<y $ . 因此，帕累托集是
$$ P={(1/2,y,1/2,20-y):0\leq y\leq 20}\cup {(1,20,0,0)}\cup {(0,0,1,20)} $$
請注意，分配 $ (1,20,0,0) $ 和 $ (0,0,1,20) $ 也有效率。
現在，為你的問題。
對於每個帕累託有效分配，建議我們如何改變禀賦，以使問題中的帕累託有效分配成為瓦爾拉斯均衡。
讓 $ E $ 是可能禀賦的集合
$$ E={(x_A,y_A,1-x_A,20-y_A): 0\leq x_A\leq 1, 0\leq y_A\leq 20} $$
對於每個 $ e\in E $ 讓 $ W(e) $ 當代理人從禀賦開始時是瓦爾拉斯均衡 $ e $ . 您的問題可以正式表述如下
對所有人 $ p\in P $ 找到 $ e_p\in E $ 這樣 $ W(e_p)=p $
這是一個快速的想法，如果代理從 $ p $ ? 也就是說，如果 $ e_p=p $ 那是什麼 $ W(e_p) $ ? 它應該是 $ p $ .