Von-Neumann Morgenstern 偏好是對彩票的偏好，可以表示為對結果的“確定性”效用函式的期望。

因此，“非馮諾依曼摩根斯坦”偏好是無法以這種方式描述的偏好，因此我們無法應用預期效用最大化。

我知道至少一種非馮諾依曼摩根斯坦偏好關係，即所謂的“EZ 偏好”。

在經濟學（或其他領域）中實際使用的其他一些非馮·諾依曼·摩根斯坦偏好是什麼？

von Neumann-Morgenstern (vNM) 效用函式採用以下形式

$$ \begin{equation} U(p,x)=\sum_{i=1}^np_iu(x_i) \end{equation} $$ 在哪裡 $ x=(x_1,\dots,x_n) $ 和 $ x_i $ 是與結果相關的（貨幣）回報 $ i $ 和 $ p=(p_1,\dots,p_n) $ 和 $ p_i $ 是機率 $ i $ 發生。 在行為經濟學中，vNM 效用的推廣通常發生在以下兩個渠道中的一個（或兩個）中：

1. 非線性機率加權：而不是使用 $ p_i $ ，可以被認為是客觀機率，模型可以使用決策權重 $ w_i $ 將客觀機率分佈映射到新的分佈。
2. 參考依賴效用函式：代替 $ u(x_i) $ ，這僅取決於結果中的回報 $ i $ ，模型可以考慮效用函式 $ u(x_i,r) $ 這取決於兩者 $ x_i $ 和一些參考收益 $ r $ .

通過其中任何一個進行的修改都會產生一個非預期的效用函式，這應該會提高模型對人們在風險下決策的描述準確性。

範例 1：等級相關效用

認為 $ x_1<x_2<\cdots<x_n $ , 併計算決策權重 ( $ w_i $ ’s) 如下：

$$ \begin{equation} w_i=\pi\left(\sum_{j=i}^np_j\right)-\pi\left(\sum_{j=i+1}^np_j\right), \end{equation} $$ 在哪裡 $ \pi(\cdot) $ 稱為機率加權函式（PWF）。一個常見的 PWF 是 Tversky-Kahneman PWF： $$ \begin{equation} \pi(t)=\frac{s^\gamma}{(s^\gamma+(1-s)^\gamma)^{1/\gamma}}. \end{equation} $$ 那麼 TK PWF 的秩相關效用是 $$ \begin{equation} RDU(p,x;\gamma)=\sum_{i=1}^nw_iu(x_i). \end{equation} $$ 注意 $ w_i=p_i $ 如果 $ \gamma=1 $ ，因此 vNM EU 是 RDU 的一個特例。 範例 2：失望厭惡

$$ \begin{equation} DAU(p,x;\overline U)=\sum_{i=1}^np_i[u(x_i)-D(u(x_i)-\overline U)], \end{equation} $$ 在哪裡 $ D(\cdot) $ 是一個捕捉失望程度的函式（ $ u(x_i)<\overline U $ ) 或興高采烈 ( $ u(x_i)>\overline U $ ) 影響個人對潛在客戶的評價。這裡，參考效用水平 $ \overline U $ 可以是類似於確定性等價效用水平的東西。EU 也可以作為 DAU 的一個特例，通過要求 $ D(\cdot) $ 是一個常數函式。 1+2的例子：前景理論

前景理論 (PT) 結合了非線性機率加權和參考依賴。再次假設 $ x_1<\cdots<x_n $ . PT 區分增益 ( $ x_i>r $ ) 和損失 ( $ x_i<r $ ）。對於收益，決策權重由下式給出

$$ \begin{equation} w_i=\pi^+(p_i+\cdots+p_n)-\pi^+(p_{i+1}+\cdots+p_n), \end{equation} $$ 而對於損失，決策權重是 $$ \begin{equation} w_i=\pi^-(p_i+\cdots+p_n)-\pi^-(p_{i+1}+\cdots+p_n), \end{equation} $$ 在哪裡 $ \pi^+(\cdot) $ 和 $ \pi^-(\cdot) $ 都是 PWF。例如，可以將兩個 PWF 都設為 Tversky-Kahneman 形式，但參數不同。此外，效用函式還採用引用依賴形式： $$ \begin{equation} u(x_i,r)= \begin{cases} (x_i-r)^\alpha &\text{if }x_i\ge r\ -\lambda(r-x_i)^\beta &\text{if }x_i<r \end{cases} \end{equation} $$ 在哪裡 $ \alpha,\beta\in(0,1) $ 是風險規避的參數（區分收益和損失）和 $ \lambda>0 $ 是損失厭惡係數。因此，PT 下的非預期效用函式為 $$ \begin{equation} V(p,x;\text{parameters})=\sum_{i=1}^nw_iu(x_i,r) \end{equation} $$

不包含與結果相關的機率的效用函式不能表示為預期值 $ p\cdot u(x_1) + (1-p) \cdot u(x_2) $ 形式。因此，所有此類實用程序都是非 vNM。

最熟悉的案例可能是 Leontief 偏好。假設你得到結果 $ x_1 $ 有機率 $ p $ 或結果 $ x_2 $ 有機率 $ 1-p $ ，你的效用是 $ \min(x_1,x_2) $ . 這不能表示為期望值。不過，它有一個很好的解釋：有這種偏好的人是絕對的悲觀主義者。不管實際機率如何，他確信他會得到最壞的結果。

同樣，極端樂觀主義者也會 $ U(x_1,x_2) = \max(x_1,x_2) $ .

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/19445