什麼是經濟解釋∂q/∂p=-(1/p2)在噸(D在x)w∂q/∂p=−(1/p2)在噸(D在X)在partial q / partial p = - (1/p^2) w^T (D_w x) w在利潤最大化？
考慮一家在投入和產出市場上都具有完全競爭性的利潤最大化公司。它需要 $ n $ 輸入 $ x \in \mathbb{R}^n_+ $ 並生產 $ f(x) $ 輸出單位，其中 $ f: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}_+ $ 是生產函式。從現在開始，假設 $ f $ 只要證明需要，它就具有所有必要的正則條件。
定理
假設在每個輸入價格 $ w \in \mathbb{R}^n_{++} $ 和產出價格 $ p > 0 $ , 利潤最大化問題
$$ \pi(p, w) = \max{ p f(x) - w \cdot x : x \in \mathbb{R}^n_+ } $$
有獨特的解決方案 $ x(p, w) $ . 讓 $ q(p, w) = f(x(p, w)) $ 為對應的輸出供給函式，則
$$ \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) = -\frac{1}{p^2} w^T D_w x(p, w) w \geq 0 $$
證明：
利潤最大化的一階條件是：
$$ p \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(p, w)) = w_i \quad \forall i $$
區分 $ q(p, w) = f(x(p, w)) $ 關於 $ p $ :
$$ \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(p, w)) \frac{\partial x_i}{\partial p}(p, w) = \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{p} \frac{\partial x_i}{\partial p}(p, w) $$
評估 $ \partial x_i / \partial p $ ，將包絡定理應用於利潤函式 $ \pi $ 兩次：
$$ \frac{\partial x_i}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( -\frac{\partial \pi}{\partial w_i} \right) = -\frac{\partial}{\partial w_i} \frac{\partial \pi}{\partial p} = -\frac{\partial q}{\partial w_i} $$
區分 $ q(p, w) = f(x(p, w)) $ 關於 $ w_i $ 並再次使用一階條件：
$$ \begin{align*} \frac{\partial x_i}{\partial p} = -\frac{\partial q}{\partial w_i} &= -\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(x(p, w)) \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) \ &= -\sum_{j=1}^n \frac{w_j}{p} \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) \end{align*} $$
將上面替換回 $ \partial q / \partial p $ :
$$ \begin{align*} \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) &= \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{p} \left( -\sum_{j=1}^n \frac{w_j}{p} \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) \right) \ &= -\frac{1}{p^2} \sum_{i,j=1}^n w_i \frac{\partial x_j}{\partial w_i}(p, w) w_j \end{align*} $$
我們快完成了！為了得到所需的矩陣形式，我們需要 $ D_w x = ( \partial x_j / \partial w_i )_{ij} $ 為對稱矩陣。但這又是從包絡定理得出的：
$$ D_w x = \left( \frac{\partial x_j}{\partial w_i} \right){ij} = \left( -\frac{\partial^2 \pi}{\partial w_i \partial w_j} \right){ij} = -D^2_w \pi $$
在哪裡 $ D^2_w \pi $ 是 Hessian 矩陣 $ \pi $ 關於 $ w $ . 因此，我們有所需的身份：
$$ \frac{\partial q}{\partial p}(p, w) = -\frac{1}{p^2} w^T D_w x(p, w) w $$
最後， $ \pi $ 是凸函式，所以 $ D^2 \pi = - D_w x $ 是半正定的。但這意味著 $ - w^T D_w x(p, w) w $ 是一個半正定二次型，所以 $ \partial q / \partial p \geq 0 $ . 這只是供給規律。
問題：
身份的經濟解釋是什麼（除了免費提供法律供應）？它似乎將產出的自我價格彈性與投入的交叉價格彈性聯繫起來？
請注意，您不需要整個證明來證明 $ \dfrac{\partial q(p,w)}{\partial p} \ge 0 $ .
作為 $ \pi(p,w) $ 是凸的，那麼我們立即通過包絡定理得到： $$ 0 \le \frac{\partial^2 \pi(p,w)}{\partial p^2} = \frac{\partial q(p,w)}{\partial p}. $$
一個，也許更多的數學直覺證明是它很容易從最優供給函式的事實得出 $ q(p,w) $ 和要素需求函式 $ x_i(p,w) $ 在產出和投入價格上是零次同質的： $$ \begin{align*} &q(tp,tw) = q(p,w),\ &x_i(tp,tw) = x_i(p,w). \end{align*} $$ 歐拉定理給出： $$ \begin{align*} &p\frac{\partial q(p,w)}{\partial p} + \sum_j w_j \frac{\partial q(p,w)}{\partial w_j} = 0 \tag{1}\ &p \frac{\partial x_i(p,w)}{\partial p} + \sum_j w_j \frac{\partial w_i(p,w)}{\partial w_j} = 0 \tag{2} \end{align*} $$ 從 $ (1 $ ) 並使用價格效應的對稱性，我們有： $$ p \frac{\partial q(p,w)}{\partial p} - \sum_j w_j \frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p} = 0 $$ 那麼如果我們使用 $ (2) $ 替換條款 $ \dfrac{\partial x_j(p,w)}{\partial p} $ 我們得到最終結果： $$ p \frac{\partial q(p,w)}{\partial p} + \sum_{j} \sum_i \frac{w_j w_i}{p} \frac{\partial x_i(p,w)}{\partial w_j} = 0 $$
身份的經濟解釋是什麼（除了免費提供法律供應）？它似乎將產出的自我價格彈性與投入的交叉價格彈性聯繫起來？
不知道這個身份有沒有明確的經濟直覺。等效地，人們可以詢問希克斯需求的交叉價格彈性是對稱的這一事實背後的經濟直覺嗎？我們知道它很容易從楊氏定理和包絡定理中得出，但總的來說，我認為這沒有明確的經濟直覺。
對於目前的推導，我們使用包絡定理和楊氏定理（以獲得對稱性）以及供給和要素需求的零度同質性。但我認為沒有明確的經濟直覺。
以彈性形式表示同一性，我們有： $$ r \varepsilon^q_p + \sum_i c_i \sum_j \varepsilon^{x_i}{w_j} = 0, $$ 在哪裡 $ r $ 是收入（ $ r = p q(p,w) $ ） 和 $ c_i $ 是因素的成本 $ i $ : ( $ c_i = w_i x_i(p,w) $ ）。下一個， $ \varepsilon^q_p $ 是供給的產出價格彈性和 $ \varepsilon^{x_i}{w_j} $ 是因素 $ j $ 要素投入價格彈性 $ i $ 要求。