生產函式 q = min {K, L^(1/2)} 的規模報酬是多少？
我了解到，當規模收益遞減時，平均成本總是在增加。
但教授今天告訴我們，反過來可能並不總是正確的。因此，如果平均成本在增加，這可能並不一定意味著規模回報在減少。
生產函式 $ q = \min {K, L^{(1/2)}} $ 是一個他給我們的東西，作為一個可能的反例來思考。
我們假設資本的投入價格為 2，勞動力的投入價格為 1。
如果我們使用成本最小化來解決這個問題，我們得到 $ C(q) = 2q + q^2 $ 和 $ AC(q) = 2 + q $ 這是一個遞增函式。
如果我輸入 $ kK, kL $ 在生產函式中 $ k > 1 $ ，則函式變為
$ q = \min {kK, (kL)^{1/2}} = \min {kK, k^{1/2} * L^{1/2}}. $
我怎麼知道這顯示的是什麼規模回報？
如果 min 函式很簡單 $ q = \min { K, L } $ ，那麼我可以肯定地說，這顯示了規模收益不變，因為 $ \min {kK, kL} = k*\min{K,L} $ ，但是你如何在數學上解決上述函式的規模回報， $ q = \min {K, L^{1/2}} $ ?
我不知道到達後下一步要採取什麼步驟 $ \min {kK, k^{1/2} * L^{1/2}} $ . 從現在開始，我不知道從 min 函式中提取什麼。
對於如何繼續確定此類範例的規模回報，我將不勝感激。
你有一個 Leontief 生產函式，在最佳狀態下你將永遠擁有 $ K=\sqrt{L}=q_1 $ . 現在按因子增加兩個輸入 $ k>1 $ 你到達 $ kK > \sqrt{kL}=q_2 $ 其中第一個不等式來自 $ k>\sqrt{k} $ 為了 $ k>1 $ 第二個不等式是因為在你的生產函式中只有最小值很重要。因此你有 $ F(kK,kL)= \sqrt{kL}<kK=k\sqrt{L} =kF(K,L) $ 任何最佳輸入組合 $ (K,L) $ 因此規模報酬遞減。
要了解這裡的問題是什麼，請盡職盡責地檢查生產函式中所有可能的子情況。
生產函式為
$$ Q_0 = \min{K_0, L_0^{1/2}} $$.
考慮案例
一種。 $ K_0 < L_0^{1/2} $
這裡 $ Q_0 = K_0 $ . 考慮 $ Q_{\lambda }\equiv \min{\lambda K_0, \lambda^{1/2}L_0^{1/2}},;;; \lambda>1. $
子案例 A1。
如果 $ \lambda K_0\leq \lambda^{1/2}L_0^{1/2} \implies Q_{\lambda} = \lambda K_0 = \lambda Q_0 $ 我們有恆定的規模回報。這發生在 $ K_0 \leq \left(L_0/\lambda\right)^{1/2} $ .
子案例 A2。
如果 $ \lambda K_0 > \lambda^{1/2}L_0^{1/2} \implies Q_{\lambda} = \lambda^{1/2}L_0^{1/2} $ 因為我們在這種情況下 $ K_0\leq L_0^{1/2} $ 和 $ \lambda >1 $ 我們有 $ Q_{\lambda} > Q_0 $ 我們有越來越多的 Reaurns 以擴大規模。這發生在 $ \left(L_0/\lambda\right)^{1/2}< K_0 < L_0^{1/2} $ .
B. $ K_0 > L_0^{1/2} $
這裡 $ Q_0 = L_0^{1/2} $ . 考慮 $ Q_{\lambda }\equiv \min{\lambda K_0, \lambda^{1/2}L_0^{1/2}},;;; \lambda>1. $
在這裡，因為 $ \lambda >1 $ ，我們將永遠擁有 $ \lambda K_0 > \lambda^{1/2}L_0^{1/2} \implies Q_{\lambda} = \lambda^{1/2}L_0^{1/2} = \lambda^{1/2} Q_0 $ 所以我們得到規模收益遞減。
C。 $ K_0 = L_0^{1/2} $
這裡也是，因為 $ \lambda >1 $ ，我們處於與案例 B 相同的情況，因此規模收益遞減。
所以看起來“出發點”（輸入情況為 $ Q_0 $ ) 很重要——這就是為什麼在另一個答案中呼叫了最佳行為，以便在某種有意義的意義上確定這個“出發點”。