什麼樣的生產函式會給出立方形狀的成本函式？
我想要一個生產函式，它給出具有以下形狀的成本函式：
該圖摘自《微觀經濟學理論：基本原理和擴展，第 12 版》，第 10 章，第 10.4.3 節
成本函式 $ c $ 應滿足以下要求：
- $ c(q) $ 對所有人都是定義和連續的 $ q \geq 0 $
- $ c(q) $ 對所有人來說是兩次連續可微的 $ q > 0 $
- $ c(q) \to \infty $ 作為 $ q \to \infty $
- 對全部 $ q > 0 $ ， 我們有 $ c’(q) > 0 $
- 那裡存在 $ q_1 > 0 $ 這樣 $ c’’(q) < 0 $ 對全部 $ 0 < q < q_1 $ 和 $ c’’(q) > 0 $ 對全部 $ q > q_1 $
我不需要[Math Processing Error] $ c $ 是字面上的三次多項式（即 $ c(q) = a_0 + a_1 q + a_2 q^2 + a_3 q^3 $ ）。我只需要它看起來像圖中的形狀並滿足上述要求。
由於您的成本函式表現出非恆定的一階和二階導數，因此三次多項式是一個很好的起點。
三次成本函式背後有無限多個生產函式。下面是一個例子，使用了 Gorman 的一個技巧，它包括解釋一個成本函式，其表達式是三個（或四個）部分的總和，就好像它是從一個公司使用三台機器（或三個工廠）獲得的.
機器（或工廠）編號 $ j=1,…,3 $ , 產生恆定份額[數學處理錯誤] $ s_j $ [數學處理錯誤] [數學處理錯誤]總產出 $ y $ 根據自己的生產函式 $ h_j $ 這樣
$$ s_j y = h_j(x_j-k_j), $$其中每個 $ h_j $ 度數齊次 $ 1/\alpha_j $ 在 $ (x_j-k_j) $ ， 和 $ k_j \geq 0 $ 表示生產的最低投入要求： $ h_j(x_j-k_j)=0 $ 為了 $ x_j \leq k_j $ . 輸出表示為 $ y $ 和輸入價格向量 $ w $ （這裡可以認為是常數）。然後最優輸入需求向量採用以下形式（左側作為練習）： $$ x_j^(w,y)=k_j + b_j(w)y^{\alpha_j} $$ 對應的代價函式是 [Math Processing Error]$$ c(w,y) = \sum_{j=1}^3 w^T x_j^(w,y) = a_0(w) + a_1(w)y^{\alpha_1} + a_2(w)y^{\alpha_2} + a_3(w)y^{\alpha_3} $$ 這是三次成本函式的表達式 $ \alpha_1=1,\alpha_2=2, $ 和 $ \alpha_3=3 $ .
進一步的限制[Math Processing Error] $ a_j $ 函式產生上述數字。