什麼時候可以安全地談論邊際效用遞減？
我經常聽到的一件事是關於邊際效用遞減的說法——這種想法是一種商品的附加單位越多，該商品的吸引力就越小。
然而，由於效用的順序性，這總是讓我有點不舒服。如果我們以一個微不足道的情況為例，在這個世界中，只有一種具有效用的商品 $ u(x) $ 令人滿意的 $ u’(x),\ u’’(x)<0 $ （遞減邊際效用）那麼顯然可以構造一個遞增函式 $ f $ 這樣 $ (f\circ u) $ 是線性的 $ x $ . 此外，由於效用函式對於單調遞增變換是不變的， $ (f\circ u) $ 是一個效用函式，表示與 $ u $ （但現在具有恆定的邊際效用）。因此，在一個只有單一商品的世界裡，談論邊際效用遞減似乎是沒有意義的。
我的問題是：考慮一個市場 $ L>1 $ 商品。是否有一個正式的條件可以讓我們安全地談論邊際效用遞減？也就是說，是否存在一類偏好，使得每個有效的效用表示， $ u(\mathbf{x}) $ ， 擁有 $ u_{ii}(\mathbf{x})<0 $ 對於一些 $ i $ ?
或者，是否有一些簡單的證據證明，對於 $ L>1 $ , 效用表示的存在 $ u_{ii}(\mathbf{x})<0 $ 對於一些 $ i $ 必然意味著所有的效用表示都有 $ u_{ii}(\mathbf{x})<0 $ ?
“邊際效用”（以及因此減少邊際效用）的概念僅在基數效用的背景下才有意義。
假設我們有一個序數效用指數 $ u() $ , 在一種商品上, 和三個數量的這種商品, $ q_1<q_2<q_3 $ ， 和 $ q_2-q_1 = q_3-q_2 $ .
偏好表現良好並且滿足基準正則性條件，所以
$$ u(q_1)< u(q_2) < u(q_3) $$ 這是序數效用。只有排名有意義，距離沒有意義。所以距離 $ u(q_2) - u(q_1) $ 和 $ u(q_3) - u(q_2) $ 沒有行為/經濟解釋。如果他們不這樣做，那麼比率也不會
$$ \frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},;; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2} $$ 但是當分母變為零時，這些比率的限制將是函式導數的定義 $ u() $ . 因此導數沒有經濟/行為解釋，因此比較導數函式的兩個實例不會產生任何有意義的內容。
當然這並不意味著 $ u() $ 不作為數學概念存在。它們可以存在，如果 $ u() $ 滿足微分所需的條件。因此，人們可以提出純數學問題“在什麼條件下，表示序數效用的函式具有嚴格的負二階導數”（或多元情況下的負定 Hessian 矩陣），盡量不要將其解釋為具有經濟/行為內容的“邊際效用遞減” ，但只是一個數學屬性，可能在他檢查的模型中發揮某些作用。
在這種情況下，我們知道：
1）如果偏好是凸的，效用指數是準凹函式
2）如果偏好是嚴格凸的，效用指數是嚴格準凹的
但是準凹度是一種不同於凹度的性質：準凹度是一種“序數”性質，因為它在函式的遞增變換下保持不變。
另一方面，凹度是一種“基本”屬性，在某種意義上，它不一定會在增加的變換下保持不變。
考慮一下這意味著什麼：假設我們找到了偏好的特徵，使得它們可以用一個凹函式的效用指數來表示。然後我們可以找到並實現這個效用指數的一些遞增變換，這將消除凹性。