城市裡的富人和窮人住在哪裡？（結石）
我正在閱讀 Ed Glaeser 的《城市、集聚和空間平衡》。
人們生活在一個單一中心的城市，那裡的消費者收入不同 $ y $ 在市中心工作。他們買 $ H(y) $ 有價買房 $ p(d) $ 在遠處 $ d $ 從中心出發，產生運輸費用 $ t(y)d $ 當他們上下班時。
消費者俱有效用函式：
$ U(C,H)=v(y - t(y)d - p(d)H(y),H(y)) $
預算約束為：
$ C = y - t(y)d - p(d)H(y) $ 其中 C 是扣除交通和住房的消費淨額。
相切條件意味著：
$ \frac{U_1}{U_2} = p(d) $
其中下標 1 表示對第一個參數等的偏微分。
根據空間平衡假設， $ \frac{dU}{dd}=0 $ : 改變位置沒有租金。
$ \frac{dU}{dd} = U_1(-t(y)-p’(d)H(y))=0 $
$ \therefore p’(d)=\frac{-t(y)}{H(y)} $ : 房價隨距離下降 $ d $ .
如果住房的收入彈性大於交通的收入彈性（即 $ H(y) $ 增加 $ y $ 多於 $ t(y) $ 確實），富人（更高 $ y $ ) 將住在郊區。從數學上講，分母比分子大，價格梯度不那麼陡峭。對於富人來說，支付意願隨著距離的增加而下降的幅度較小。
然後，這本書定義了與每個距離相關的收入 $ y(d) $ 並再次微分以找到二階條件， $ p’’(d)>0 $ .
書上說這是：
$ p’’(d)=\frac{t(y)H’(y)-H(y)t’(y)}{y’(d)}>0 $
但我認為這是不正確的，應該是：
$ p’’(d)=\frac{(t(y)H’(y)-H(y)t’(y))y’(d)}{H^2(y)}>0 $
我對麼？
另外，你怎麼能忽略這樣一個事實 $ y=y(d) $ 在計算一階條件時，然後在您區分以找到二階條件時引入它？
你不應該說 $ U(y(d)-t(y(d))d-p(d)H(y(d)),H(y(d))) $ 並區分兩次？
1. 第一個問題是基於對文本的誤讀。
首先，在模型假設下是完全正確的：
$$ (A) \ \ p’’(d) = \frac{t(y)H’(y) - t’(y)H(y)}{H(y)^2} y’(d), $$
但是沒有問題，因為這本書沒有說明
$$ (B)\ \ p’’(d) = \frac{t(y)H’(y) - t’(y)H(y)}{y’(d)} $$
相反，這本書指出二階條件
$$ p’’(d) > 0 $$暗示$$ (C)\ \ \ \frac{t(y)H’(y) - t’(y)H(y)}{y’(d)} > 0 $$
從 (A) 得出-您得出的真實表達式 $ p’’(d) $ - 乘以 $ (H(y))^2 $ 和劃分 $ (y’(d))^2 $ .
儘管如此，我懷疑這是一個錯字，即使它無關緊要。
顯然，給定 (C) 或 [(A) 以及二階條件 $ p’’(d)>0 $ ] 它遵循 $ y’(d)>0 $ 當且當
$$ t(y)H’(y) - t’(y)H(y) > 0, $$
這又相當於$$ \frac{y}{H(y)} H’(y) > \frac{y}{t(y)} t’(y) $$
因此高收入的人住在郊區（ $ y’(d)>0 $ 收入隨著離市中心的距離而增加）當且僅當住房的收入彈性大於交通成本的收入彈性時 $ t(y) $ .
- 第二個問題：收入如何是距離的函式 $ y=y(d) $ 當我們區分二階條件而不是當我們考慮一階條件時？
這個想法和往常一樣，居民有一些收入 $ y $ 外生給予。他們不能自己決定想要什麼收入，他們的收入也不是他們選擇的地點的產物。當他們選擇最佳位置時 $ d^\star $ 他們以這樣的方式選擇一階條件 $ p’(d) = - t(y)/H(y) $ 必須持有。然而，不同收入水平的個人會選擇不同的地點，因此在均衡收入將是地點的函式 $ y = y(d) $ . 因此，當您想考慮平衡時的情況時，您可以使用該收入 $ y $ 是一個函式 $ d $ .
Glaeser 沒有證明這種均衡的存在，但是這種具有完美收入分類的均衡在文獻中是眾所周知的，這本書是一本教科書。
在這個簡化模型中，一階條件的推導遵循以下構想：
居民具有效用函式 $ U(c,H) $ 和收入 $ y - t(y)d $ 淨運輸。他們最大化關於 $ c $ 所以有條件 $ d $ 價值函式是 $ U(y - t(y)d - p(d)H(y),H(y)) $ . 在空間方程中。如果有收入的人 $ y $ 在城裡，然後他們選擇一些 $ d^\star $ 最大化條件間接效用函式 $ U(y - t(y)d - p(d)H(y),H(y)) $ 關於 $ d $ 給予效用 $ U(y - t(y)d^\star - p(d^\star)H(y),H(y)) = u^\star(y) $ . 這些人只有在提供相同水平的效用（或更高但在這種情況下）時才會考慮其他位置 $ u^\star(w) $ 不會是最大的）。這使我們能夠進行思想實驗：如果其他位置產生相同的效用水平，價格將如何作為位置的函式而變化？這個思想實驗是通過施加以下條件來進行的 $ U(y - t(y)d - pH(y),H(y)) = u^\star(y) $ 在所有位置並求解價格（給出所謂的出價函式）。隱含投標函式的導數可以通過微分得到 $ U(y - t(y)d - pH(y),H(y)) = u^\star(y) $ 關於 $ d $ 給出條件 $ p’(d)H(y) = - t(y) $ 這是眾所周知的 Muth 條件。