哪個效用函式產生需求函式的恆定價格彈性？
我怎麼知道我可以使用哪個效用函式來找到等彈性需求函式，例如， $ x(p)=Ap^a $ ? 同樣，我可以使用哪個成本函式來找到等彈性供給函式？它是通過反複試驗，還是有特定的方法？
根據羅伊的身份，我們有馬歇爾式的（無補償的）對善的需求 $ x_i $ 是
$$ x_i^M = \frac {\partial U^/\partial p_i}{\partial U^/\partial B} \tag{1} $$ 在哪裡 $ U^* $ 是對商品向量的優化效用 $ \mathbf x = (x_1,…,x_i,…x_n) $ 和 $ B $ ，這是可用預算，並且給定價格向量 $ \mathbf p = (p_1,…,p_i,…,p_n) $ . 為了獲得一個恆定的彈性需求函式，我們需要
$$ \eta \equiv \frac {\partial x_i^M}{\partial p_i}\cdot \frac{p_i} {x_i^M}=const. \tag{2} $$ 使用 $ (1) $ 我們有
$$ \frac {\partial x_i^M}{\partial p_i} = \frac {(\partial^2 U^/\partial p^2_i)\cdot(\partial U^/\partial B) -(\partial^2 U^/\partial B^2)\cdot (\partial U^/\partial p_i)}{\big[\partial U^*/\partial B\big]^2} \tag{3} $$ 插入 $ (3) $ 和 $ (1) $ 進入 $ (2) $ 我們有
$$ \eta \equiv \frac {(\partial^2 U^/\partial p^2_i)\cdot(\partial U^/\partial B) -(\partial^2 U^/\partial B^2)\cdot (\partial U^/\partial p_i)}{\big[\partial U^/\partial B\big]^2}\cdot \frac{p_i} {\frac {\partial U^/\partial p_i}{\partial U^/\partial B}} $$ $$ = \frac {(\partial^2 U^/\partial p^2_i)\cdot(\partial U^/\partial B) -(\partial^2 U^/\partial B^2)\cdot (\partial U^/\partial p_i)}{(\partial U^/\partial B)\cdot (\partial U^/\partial p_i)} \cdot p_i $$ $$ \implies \eta = p_i\left(\frac {\partial^2 U^/\partial p^2_i}{ \partial U^/\partial p_i}- \frac{\partial^2 U^/\partial B^2}{\partial U^*/\partial B}\right) \tag{4} $$ 為了使這個表達式在整個範圍內保持不變 $ p_i $ 我們需要那個
$$ \left(\frac {\partial^2 U^/\partial p^2_i}{ \partial U^/\partial p_i}- \frac{\partial^2 U^/\partial B^2}{\partial U^/\partial B}\right) = \frac {C}{p_i} \tag{5} $$ 對於一些常數 $ C $ ，它成為需求價格彈性的常數值。
這是必須滿足的一般條件。
您可以檢查廣義的 Cobb-Douglas 標準效用函式規範是否
$$ U(\mathbf x) = \prod_{i=1}^n x_i^{a_i} $$ 滿足條件，也許有一些限制。
擬線性效用函式的例子
OP 考慮了準線性效用函式的情況，所以讓我們向前解決。我們有
$$ \max_{x,m} [cx^{\theta} +m],;;;; s.t. ;;;p_xx + m = B,;;; 0<\theta <1,;; c>0 $$ 在哪裡 $ m $ 是所有其他商品的剩餘收入。拉格朗日是
$$ \Lambda = cx^{\theta} +m + \lambda[B-p_xx - m] $$ 一階條件是 $$ c\theta x^{\theta-1}=\lambda p_x,\;;; \lambda =1 $$ 所以
$$ x^* = \left(\frac {c\theta}{p_x}\right)^{1/(1-\theta)},;;; m^* = B-p_xx^* $$ 所以間接效用函式是
$$ U^* = c\left(\frac {c\theta}{p_x}\right)^{\theta/(1-\theta)} + B-p_x\left(\frac {c\theta}{p_x}\right)^{1/(1-\theta)} $$ $$ = \left[c(c\theta)^{\theta/(1-\theta)} - (c\theta)^{1/(1-\theta)}\right] \cdot \frac {1}{p_x^{\theta/(1-\theta)}} + B $$ 可以很容易地驗證這一間接效用函式是否滿足所需條件 $ (5) $ 對於等彈性需求，還可以查看偏好參數如何映射到需求參數。