為什麼同位函式沿射線具有恆定的邊際產品比率？
同位排序定義為
$ x \succeq y \Rightarrow \lambda x \succeq \lambda y \qquad \forall \lambda >0 $
在哪裡 $ x,y \in \mathbb{R}^n $
那麼，表示排序的任何可微函式都具有
$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(\lambda x)= k \frac{\partial f}{\partial x_i }(x) $
和 $ k,\lambda >0 $
這個結果是如何得出的？
我可以看到我們如何從同位性中推導出函式值的屬性，但不知道我們如何對它的導數發表任何看法。
一個類似函式可以表徵如下： 讓 $ f(\mathbf x) $ , $ \mathbf x \in \mathbb R^n $ 是度數齊次的函式 $ r $ . 讓 $ g() $ 成為一個函式 $ g’\neq 0 $ . 然後
$$ G(\mathbf x) = g[f(\mathbf x)] $$ 是同位的。自從 $ f(\mathbf x) $ 度數齊次 $ r $ 我們有
$$ f(\lambda \mathbf x) = \lambda ^ rf(\mathbf x) $$
然後
$$ G(\lambda \mathbf x) = g[\lambda ^ r f(\mathbf x)] $$所以
$$ \frac{\partial G(\lambda x)}{\partial x_i}=g’[f(\lambda x)]\cdot \lambda ^r \frac{f(x)}{\partial x_i}=\lambda^r \cdot\frac{g’[f(\lambda x)]}{g’[f(x)]}\frac{\partial G(x)}{\partial x_i} $$
顯然，我們也會有
$$ \frac{\partial G(\lambda x)}{\partial x_j}=g’[f(\lambda x)]\cdot \lambda ^r \frac{f(x)}{\partial x_j}=\lambda^r \cdot\frac{g’[f(\lambda x)]}{g’[f(x)]}\frac{\partial G(x)}{\partial x_j} $$
這導致了相似函式的“沿射線的恆定MRS”表徵，
$$ \frac{\partial G(\lambda x) / \partial x_i}{\partial G(\lambda x) / \partial x_j} = \frac{\partial G (x) / \partial x_i}{\partial G( x) / \partial x_j} $$
（見 Simon 和 Blume 1994，第 503 頁）。