如果商品劣質，為什麼 EV<CV？
通過斯盧茨基方程，我知道如果商品劣質，馬歇爾需求函式比希克斯需求函式更陡峭，但我不明白為什麼補償變化高於等效變化。這是因為效用的增加使希克斯曲線向左移動而不是向右移動（在價格為 y 且需求為 x 的圖中）？
答案來自查看希克斯補償需求：
因為，WLOG, EV 只有一次好的價格變化可以寫成 $$ EV(p_1,p_0,u) = \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_1)dp_1 $$ 和簡歷為 $$ CV(p_1,p_0,u) = \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_0)dp_1, $$ 我們知道 $ \frac{\partial h}{\partial u} \leq 0 $ 當商品劣質時（使用以下事實 $ \frac{\partial x}{\partial w}=\frac{\partial h}{\partial u}\frac{\partial v}{\partial w} \leq 0 $ 和 $ \frac{\partial v}{\partial w}\geq0 $ , 來自身份 $ x(p,w)=h(p,v(p,w)) $ )，我們可以使用積分的單調性來確定 $$ EV(p_1,p_0,u) = \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_1)dp \leq \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_0)dp = CV(p_1,p_0,u) $$ 什麼時候 $ p_1<p_0 $ .
對於這種情況 $ p_1 > p_0 $ 請注意 $ u_1 \leq u_0 $ ， 在哪裡 $ u_i = v(p_i,w) $ , $ \implies $ $ h(p,u_1) \geq h(p,u_1) $ ， 以便 $$ -EV(p_1,p_0,u) = \int_{p_0}^{p_1} h(p,u_1) dp \geq \int_{p_0}^{p_1} h(p,u_0) dp = - CV(p_1,p_0,u). $$
$ \square $
我相信馬歇爾的需求沒有希克斯的需求那麼陡峭，因為我們在經濟學中顛倒了 y 軸和 x 軸。因此，x 相對於 p 的較大導數將不那麼陡峭，因為 p 在垂直方向上，而 x 在水平方向上。
（圖片來自這裡）
