為什麼 MC = ATC 對於盈虧平衡點和投資者最大化回報的點相同？
讓 $ \pi(y) = R(y) - C(y) $ 利潤在哪裡 $ R(y) $ 是收入和 $ C(y) $ 是成本。讓 $ R(y) = p_y y $ . 然後
$$ \begin{align*} \frac{\partial \pi }{\partial y} &= 0\ \frac{\partial x}{\partial y}(p_y y -C(y)) &= 0\ C’(y) &= p_y\ \end{align*} $$
因此， $ MR = MC $ 在這種情況下。
現在定義 $ r(y) = \frac{\pi(y)}{C(y)} $ 成為回報。直覺地說，假設您擁有該業務。 $ C(y) $ 是您投入的金額，並且 $ \pi(y) $ 是你得到的。你想最大化你的回報。
$$ \begin{align*} \frac{\partial r}{\partial y} &=0\ \frac{\partial}{\partial y} \frac{p_y y -C(y)}{C(y)} &=0\ \frac{C(y)p_y - p_y y C’(y)}{[C(y)]^2} &=0\ C(y)p_y - p_y y C’(y) &=0\ C’(y) &=\frac{C(y)}{y}\ \end{align*} $$
因此， $ MC = ATC $ .
但是當我google這個時，我意外地發現了這段話：
邊際成本等於平均總成本（MC = ATC）的點稱為盈虧平衡點。當 MR = P 線穿過這一點時，如圖中的黑色圓圈所示，產品以盈虧平衡價格出售，因為邊際收入將正好抵消生產的邊際成本，總收入將完全抵消總成本。在這種情況下，公司會收支平衡：它不會賺取任何利潤，但也不會虧本。如果 MR = P 線位於盈虧平衡點之上，公司將在盈利狀態下運營，因為每單位產品銷售所獲得的收入將超過生產單位產品的平均成本，因此總收入將超過總成本。如果 MR = P 線位於盈虧平衡點下方，
我不明白為什麼，如果您要最大化創始人投資其業務的回報，為什麼他們會在收支平衡時獲得最佳回報。這對我來說沒有意義。
有人可以解釋為什麼 $ MC = ATC $ 既是投資者獲得最大回報的點又是盈虧平衡點？
你寫了兩個單獨的優化問題， $$
- \max_y \pi(y) \
- \max_y r(y) $$ 第一個問題的最優產量 $ MC(y_1) = p_y $ ，而第二個問題的最優產量 $ MC(y_2) = ATC(y_2) $ . 由於這些屬於兩個獨立問題的解決方案，因此 $ y $ 值也可能不同。因此 $$ p_y = MC(y_1) \ \ ?=? \ \ MC(y_2) = ATC(y_2), $$ 不能保證 $ p_y = ATC(y_2) $ 你正處於盈虧平衡點。
在引用的段落中：
該段落指出，如果價格 $ p_y $ 正是這樣，上面的等式成立，那麼即使你試圖最大化利潤，你能做的最好的就是盈虧平衡，實現零利潤。這僅適用於給定的價格水平，即 $$ p_y = \min_y ATC(y). $$