為什麼價格向量正交於連接預算超平面上的兩個束的向量
這是我的修訂版/理解為什麼價格向量與從預算超平面上的捆綁到超平面上的另一個捆綁的任何向量正交：（原始問題見下文）
想要幾何地表明預算超平面是相對交換條件。這是一種奇特的說法，它代表了任何兩種商品之間價格的“比率”。為簡單起見，請看 $ L=2 $ . 對於比率，我們有兩種選擇：要麼 $ \frac{p_1}{p_2} $ 或者 $ \frac{p_2}{p_1} $ . 那會是什麼？價格向量的構造方式是p $ =(p_1,p_2) $ ，所以當你從預算線上的任何一點繪製這個向量時，在 $ L=2 $ ，向量本質上是斜率（例如上升超過執行） $ \frac{p_2}{p_1} $ . 所以很明顯，如果負斜率的預算線應該代表價格比率，那麼它必須是這種情況 $ \frac{-p_1}{p_2} $ . 事實上，這是從瓦爾拉斯預算集定義 $ w=x\cdot p $ .
當我們看一個典型的瓦爾拉斯預算時 $ \mathbb{R^+_2} $ ，為什麼價格向量與預算超平面上的消費向量（例如斜率上的任意兩個）正交？這可以追溯到 MWG 的第 2 章。
我理解使用內積的分析解釋。
$ p\cdot x=p\cdot x’=w $ 為了 $ x,x’\in{x\in\mathbb{R^+_2}:p\cdot x=w} $ .
因此， $ p\cdot\Delta x=0 $ .
但我很難理解兩件事：
（問）為什麼超平面上價格和消費向量之間的這種正交性與決定兩種商品之間相對匯率的預算線的斜率有關？你如何理解直覺和幾何解釋之間的關係？
謝謝你的 2 美分！
注意 $ p $ 與預算線上的消費向量不正交，但與任意向量正交 $ v $ 滿足 $ x+v=x’ $ 和 $ x,x’ $ 在預算線。MWG 正在從一些開始繪製矢量 $ x $ .
關於斜率：在預算線中，您可以看到任何斜率 $ x $ 是 $ D_x (p.x)=p $ （那是從 $ x $ ）。該線或向量可以用函式表示 $ x_2=(p_2/p_1)*x_1 $ （請注意，如果 $ x_1=p_1 $ , $ x_2=p_2 $ ）。斜率為 $ p_2/p_1 $ .
另一方面，預算線上的所有向量都滿足 $ x_2=(-p_1/p_2)*x_1+w/p_2 $ . 這裡的坡度是 $ (-p_1/p_2) $ . 這個斜率就是匯率。兩個斜率都意味著這兩個函式（向量 $ p $ 和預算線）是正交的。或者最好說預算線和向量之間的正交性 $ p $ 暗示 $ dx_2/dx_1=-p_1/p_2 $ ，也就是說，最後一項擷取了匯率。