為什么生產可能性集是凸的？
我正在研究國際貿易並遇到了這個問題：假設一個特定的因素模型，其中某物的全球生產由下式給出 $ Q_{w}=Q_{1}(.) + Q_{2}(.) $ ， 和 $ Q_{1}, Q_{2} $ 在所有參數上嚴格增加並且也嚴格凹入。所以 $ Q_{w} $ 也會凹進去。因此，水平曲線的上組應該是凸的。但我看到的是，這種情況下的劣集是凸的。
我在這裡不明白什麼？
也許你混淆了兩件事。
如果 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 表示商品 1 和 2 在單個國家/地區的生產，並且您處於它們所定義的空間中 $ L_1 + L_2 = L $ 那麼它確實是次等集（由可行定義的生產可能性集 $ (Q_1,Q_2) $ 對）是凸的。形式上，這意味著對於所有可行的 $ L_1,L_2,L_1’,L_2’ $ 您擁有的勞動力分配
$$ \begin{eqnarray*} \mu \cdot Q_1(L_1) + (1-\mu) \cdot Q_1(L_1’) & \leq & Q_1(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1’) \ \ \mu \cdot Q_2(L_2) + (1-\mu) \cdot Q_2(L_2’) & \leq & Q_2(\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2’). \end{eqnarray*} $$ 因為這相當於說 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 是凹的，鑑於您描述的情況，這是正確的。在這種情況下，函式 $ Q_1 + Q_2 $ 完全沒有意義。我們在加什麼？鴨子和汽車？這裡的計量單位是什麼？ 但如果 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 表示在分配的勞動力數量和空間為的情況下，國家 1 和 2 的單一商品的生產 $ L_1, L_2 $ ，曲線是水平 $ Q_w $ ，則上層曲線是凸的。您可以立即看到這一點，因為 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 正在下降，因此他們的教學替代率也在“下降”。正式地：
根據定義函式 $ Q_w(L_1,L_2) $ 如果對所有人都是凹的 $ L_1,L_2,L_1’,L_2’ $ 並為所有人 $ \mu \in [0,1]: $
$$ \begin{eqnarray*} \mu \cdot Q_w(L_1,L_2) + (1-\mu) \cdot Q_w(L_1’,L_2’) & \leq & Q_w(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1’,\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2’). \end{eqnarray*} $$ 我們知道函式 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 是凹的，意思是 $$ \begin{eqnarray*} \mu \cdot Q_1(L_1) + (1-\mu) \cdot Q_1(L_1’) & \leq & Q_1(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1’) \ \ \mu \cdot Q_2(L_2) + (1-\mu) \cdot Q_2(L_2’) & \leq & Q_2(\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2’). \end{eqnarray*} $$ 把這些加起來我們得到 $$ \begin{eqnarray*} \mu \cdot \left(Q_1(L_1) + Q_2(L_2)\right) + (1-\mu) \cdot \left(Q_1(L_1’) + Q_2(L_2’)\right) \leq \ \leq Q_1(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1’) + Q_2(\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2’). \end{eqnarray*} $$ 而且因為 $$ Q_w(L_1,L_2) = Q_1(L_1) + Q_2(L_2) $$ 我們有 $$ \begin{eqnarray*} \mu \cdot \left(Q_1(L_1) + Q_2(L_2)\right) + (1-\mu) \cdot \left(Q_1(L_1’) + Q_2(L_2’)\right) \leq \ \leq Q_1(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1’) + Q_2(\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2’) \ \ \mu \cdot \left(Q_w(L_1,L_2)\right) + (1-\mu) \cdot \left(Q_w(L_1’,L_2’)\right) \leq \ \leq Q_w(\mu \cdot L_1 + (1- \mu) \cdot L_1’,\mu \cdot L_2 + (1- \mu) \cdot L_2’). \end{eqnarray*} $$ 這就是我們要證明的。