為什麼風險溢價對於規避風險的人總是為正？
我認為這與凹度的定義以及規避風險的人具有凹效用函式這一事實有關，但我不確定這有什麼幫助。
假設向量 $ W=\left(w_1,w_2,\dots,w_n\right) $ 代表財富 $ n $ 可能的狀態。此外，假設每個狀態發生的機率由向量表示 $ \pi=\left(\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_n\right) $ . 我們可以將其表示為簡單的賭博：
$$ g = \left(\pi_1\circ w_1,\pi_2\circ w_2, \dots, \pi_n\circ w_n\right) $$
簡單賭博的期望值 $ g $ 是：
$$ \mathbb{E}[g]=\sum_{i=1}^{n}\pi_iw_i $$
假設消費者有一個子效用函式 $ u(w) $ . 此外，假設消費者對賭博的偏好使得他們可以用馮諾依曼摩根斯坦效用函式（具有預期效用屬性）來表示。賭博的效用可以表示為所有狀態的預期效用：
$$ u(g)=\sum_{i=1}^{n}\pi_iu(w_i) $$
現在，如果我們假設子效用函式 $ u(w) $ 是嚴格凹的（風險厭惡消費者），根據函式的凹度，它必須是這樣的情況：
$$ u\left(\mathbb{E}[g]\right) > u(g) $$
這意味著消費者更願意肯定地接受賭博的預期價值，而不是賭博本身。我們可以問的一個問題；我需要給消費者多少才能使他們在選擇賭博和確定地獲得一定數量的財富（確定性等值）之間無動於衷？確定性等價物 $ CE $ 必須滿足以下條件：
$$ u\left(CE\right) = u(g) \implies u\left(\mathbb{E}[g]\right) > u\left(CE\right) \implies \mathbb{E}[g] > CE $$
自從 $ u(w) $ 財富增加，存在 $ P>0 $ 這樣以下將成立：
$$ u\left(\mathbb{E}[g]-P\right)= u\left(CE\right) \implies \mathbb{E}[g] -P= CE $$
$ P $ 代表風險溢價。這是您為消除不確定性而願意支付的金額（獲得確定性等值）。風險溢價為正的事實確實源於我們假設子效用函式是嚴格凹的。