在不知道斯盧茨基方程和收入/替代效應的情況下，我如何證明某種商品是劣質商品或吉芬商品？
說我有一個功能 $ x_1(p_1,p_2,m) $ 在哪裡 $ p_1, p_2 $ 分別是商品 1 和商品 2 的價格，m 是收入。
現在，我還沒有聽說過斯盧茨基方程，也沒有聽說過收入/替代效應。
我如何證明這個功能是劣質/正常和普通/吉芬好？
我最初的想法是簡單地使用偏導數並檢查它是大於還是小於零，因為
$ \frac{\partial x_1(…)}{\partial m} \gt 0 $ 對於普通商品應該是正確的， $ \frac{\partial x_1(…)}{\partial m} \lt 0 $ 對於劣質商品， $ \frac{\partial x_1(…)}{\partial p_1} \gt 0 $ 對於吉芬商品和 $ \frac{\partial x_1(…)}{\partial p_1} \lt 0 $ 對於普通商品。
它是否正確？
這是我能做的所有事情來正式表明好的是正常的/普通的嗎？這足夠了嗎？
另外，如果我可以證明相同的功能 $ x_1(m) $ 是 1 次齊次的（即類位的），即 $ tx_1(m)=x_1(tm) $ ，這意味著偏導數 $ \frac{\partial x_1(…)}{\partial m} $ 是 0 次齊次的，所以它是一個常數。因此，我是否可以得出這樣的結論：該商品嚴格來說是正常/劣質的（這是一個術語嗎？），即如果收入發生變化，它不會改變？
是的。請注意，對於一定的價格/收入價值，一種商品是正常的、劣質的 Giffen。例如，一種商品可能在某些價格/收入下是劣質的，但在價格/收入的其他一些值上是正常的。
但是，在某些情況下，您可以做出更有力的陳述。例如，類比偏好總是導致正常需求，因為 $$ x_1(p_1, p_2,m) = x_1(p_1, p_2,1) m $$ 在哪裡 $ x_1(p_1, p_2,1) $ 是單位收入需求函式，總是大於或等於零。
由此可見，類比偏好永遠不會導致吉芬商品（但要證明這一點，您確實需要斯盧茨基分解）。