微觀經濟學
x∼yX∼是xsim y暗示x+a∼y+一個X+一種∼是+一種x+asim y+a對於任何a≥0一種≥0ageq0和x,y∈RnX,是∈Rnx,yinmathbb R^n，那麼偏好是線性的？
$ x,y,a $ 是向量 $ \mathbb R^n $
我們說 $ a\geq0 $ 如果向量的所有方向 $ a $ 大於或等於零。
我們想證明（或通過反例證明）：
認為 $ x\sim y $ 暗示 $ x+a\sim y+a $ 對於任何 $ a\geq0 $ 和 $ x,y\in\mathbb R^n $ ,
那麼偏好是線性的。
線性偏好的一種定義是 $ x\sim y $ 暗示 $ x+a\sim y+a $ 對於任何 $ x,y,a $ .
這不是真的。讓我們考慮一下 $ \mathbb{R}^2 $ 所以捆綁是 $ x = (x_1,x_2) $ .
考慮偏好：
(一) 如果 $ x_1 \leq 0 $ , 偏好是字典式的，即 $$ x \succ y \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 > y_1 \ \text{ or } \ x_1 = y_1 \text{ and } x_2 > y_2 \end{cases} $$ (ii) 如果 $ x_1 \geq 0 $ , $ u(x_1,x_2)=x_1+x_2 $ .
請注意，在 $ \mathbb{R}{<0} \times \mathbb{R} $ ，並且要求的條件成立 $ \mathbb{R}{\geq 0}\times \mathbb{R} $ 因為它在那裡是線性的。
然而， $ (0,4) \sim (2,2) $ ， 選擇 $ a = (-1,-1) $ ，我們得到 $$ (2-a,2-a) = (1,1) \sim (0,2) \succ (-1,3) = (0-a,4-a) $$ 因此第二個條件失敗。