事前跟踪誤差：主動策略和共變異數矩陣的大小
事前跟踪誤差最常見的公式是 $ \sqrt{w^{T}Cw} $ ， 在哪裡 $ w $ 是相對於基準的超重權重的向量，並且 $ C $ 共變異數矩陣的預測。兩者的總和 $ w_p $ （投資組合權重的向量）和 $ w_b $ （基準權重的向量）設置為 1，它們共享盡可能多的行 $ C $ .
在文獻中，大小 $ C $ 似乎僅限於基準。
就事前跟踪誤差的偏差而言，對於購買超出其基準的股票的積極投資者而言，這意味著什麼？有哪些可能的解決方案來限制這一點？
數學中沒有任何內容表明投資組合只能對基準賦予正權重的證券賦予非零權重。所以我不確定我是否理解你的問題？
快速數學複習
讓 $ R $ 做一個 $ k \times 1 $ 表示下一期回報的隨機向量。
讓 $ \mathbf{w}_b $ 和 $ \mathbf{w}_b $ 是 $ k \times 1 $ 表示投資組合權重的向量。
投資組合的回報和基準由下式給出：
$$ r_p = R \cdot \mathbf{w}_p \quad \quad r_b = R \cdot \mathbf{w}_b $$ 如果將跟踪誤差定義為差值的標準差：
$$ \begin{align*} \sqrt{ \operatorname{Var}\left( r_p - r_b \right) } &= \sqrt{ \operatorname{Var}\left( \left(\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b \right) \cdot R \right) } \ &= \sqrt{ \left(\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b \right)’ \operatorname{Var}(R) \left(\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b \right) } \end{align*} $$
例子：
比方說 $ k=2 $ 我有兩隻股票，蘋果和Google。
$$ R = \begin{bmatrix} R_{AAPL} \ R_{GOOG} \end{bmatrix} $$. 假設我的投資組合是 100% 蘋果，我的基準是Google。因此：
$$ \mathbf{w}_p = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{w}_b = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} $$ 因此跟踪誤差由下式給出：
$$ \sqrt{ \operatorname{Var}(R_{AAPL}) - 2 \operatorname{Cov}( R_{AAPL}, R_{GOOG}) + \operatorname{Var}(R_{GOOG})} $$ 我對跟踪誤差的估計有多好將取決於我對蘋果和Google變異數的估計有多好，以及我對它們之間的共變異數的估計有多好。
會出什麼問題？
廣泛的問題來自使用估計 $ \Sigma $ 而不是真正的共變異數矩陣 $ \operatorname{Var}(R) $ .
另一個可能更微妙的問題來源來自生成權重 $ \mathbf{w}_p $ 直接或間接基於估計 $ \Sigma $ . 如果您根據樣本共變異數矩陣選擇權重以最小化跟踪誤差 $ \Sigma $ ，您幾乎肯定會得到對真實跟踪誤差的向下偏估計。樣本共變異數矩陣 $ \Sigma $ 可能有接近零的特徵值，而真正的共變異數矩陣沒有（實際上，如果時間段的時間數 $ T $ 用於估計共變異數小於證券數量 $ N $ ，這在機械上一定是真的）。