貝克爾罪與罰中的二階導數
我試圖理解貝克爾的開創性論文*《犯罪與懲罰》（1968 年）*，特別是逮捕和定罪成本參數及其二階偏導數。
該論文指出，要理解的各種活動的成本由函式給出 $ C = C(A) $ 在哪裡 $ C’ = \frac{dC}{dA} $ 並且活動可以通過清除率來近似 $ (p) $ 和違法次數 $ (O) $ 由公式 $ A ≅ pO $
現在，對每個部分微分一次 $ (p) $ 和 $ (O) $ 給出以下
$$ C_p=\frac{∂C(pO)}{∂p} = C’O \quad \textrm{and;} \quad C_O = C’p \quad \textrm{respectively} \quad $$
貝克爾然後說如果 $ pO ≠ 0 $ 那麼，無論是定罪機率還是犯罪數量的增加都會增加總成本。這就是我的困惑開始的地方，當他討論二階微分給出的增加活動的邊際成本時：
$$ C_{pp}= C’‘O^2;\ C_{OO}= C’‘p^2\ C_{pO}=C_{Op}= C’‘pO + C’ $$
簡單來說，為什麼要加一個 $ C’ $ 對於交叉偏微分結果？我翻閱了我的微積分書籍並試圖找出鍊式法則的應用，但無濟於事。
您必須在此處對衍生品應用鏈規則和乘積規則。在這種情況下：
$$ C_p’=\frac{\partial C(pO)}{\partial p}=C_p’(pO)O $$
但請注意，在計算交叉導數時**，您採用二階導數 wrt O**：
$$ \frac{\partial C_p’(pO)O}{\partial O} = \frac{\partial }{\partial O}[C_p’(pO)]\cdot O + C_p’(pO) \cdot\frac{\partial}{\partial O} [O] \ = C_{pO}’’(pO) \cdot pO + C_p’(pO) \cdot 1 $$
省略下標相當於： $ C’’ pO + C’ $ .
總結一下， $ C’ $ 來自衍生品的乘積規則（即 $ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]= f’(x)g(x)+ f(x)g’(x) $ - 您可以在標準數學教科書（例如 Hammond 等人的 EMEA）中了解有關此規則的更多資訊。）