邊際成本和平均成本有什麼區別？
邊際成本是
$$ MC(y) = \frac{\partial C(y)}{ \partial y} $$
平均成本是 $$ AC(y) = \frac{ C(y)}{ y} $$ 平均可變成本是 $$ AVC(y) = \frac{VC(y)}{ y} $$ 注：費用為 $$ C(y) = FC + VC(y) $$ 我不明白有什麼區別。就像我了解成本函式、固定成本和可變成本的定義一樣，但我不明白邊際成本、平均成本和平均可變成本之間的關係。 有人可以解釋嗎？
假設最初沒有固定成本。
取平均值是什麼意思？
考慮一個成本函式 $ C(y) $ . 取這個函式的“平均值”是什麼意思？在數學上，它只是
$$ A(y) = \frac{c(y)}{y} $$ 假設我們正在考慮 $ C(y) = y^3 $ . 假設我們現在考慮 $ y = 5 $ . 然後
$$ A(5) = \frac{5^3}{5} = 25 $$ 這只是說，對於我購買的每個單位，我都在購買它們 $ 25 $ 每個平均。所以我本可以付錢的 $$ \frac{15 + 39 + 46 + 14 + 11}{5} $$ 或者 $$ \frac{17 + 3 + 78 + 23 + 4}{5} $$ 平均成本給了我們什麼資訊？ 平均成本函式給出的“每單位成本”不像通過將我們購買的每個單位的成本相加來取平均值。當我們得到一個成本函式時 $ C(y) $ ，這只是告訴我總成本。我不知道僅從這個等式中我的第一台電視花了我多少錢。平均值也沒有告訴我。請注意，上面我們有兩組 5 台電視機，它們的平均成本相同。因此，平均成本函式並不能告訴我我為每台特定的電視支付了多少錢。
邊際成本告訴我什麼？
這正是邊際成本所提供的。邊際成本提供了每個連續無窮小數量的商品的具體成本。再考慮 $ C(y) = y^3 $ .
$$ MC(y) = \frac{d C(y)}{d y}= 3y^2 $$ 假設我已經購買 $ 3.5 $ 電視單位。然後 MC 方程因此說，對於 $ c(y) = y^3 $ ，每增加一個無限小量的電視，我都會花掉我的錢
$$ 3(3.5)^2 = 36.75 $$ 那時。如果我購買額外的 $ 0.1 $ 電視數量，然後我的 MC 改變，現在我在$$ 3(3.6)^2 = 38.88 $$ 因此，這個概念有點棘手，因為它涉及連續數量的電視，並且每無限小單元的成本會隨著您購買的更多而變化。所以你真的不能只考慮多少 $ MC(1) $ 是和 $ MC(2) $ 是。您正在考慮以極小的額外金額 $ dy $ 在給定點（例如 $ y=2 $ ）。如果您不將自己局限於整數，則更容易思考趨勢。請注意，我們假設您可以擁有非整數數量的商品，否則我們將無法使用 $ \Bbb{R}^n $ 以後的集成可能會更棘手。
闡明邊際成本的範例
所以假設我想買 $ 5 $ 電視。為了 $ k $ 購買的電視，
$$ MC(k)= 3k^2 $$回到我們上面的例子，讓我們現在假設 $ k \in [0,5] $ . 要找到平均成本，我們只需執行上面用於 5 TV 範例的加法公式，除了現在對每個無窮小量（其中有無窮多個）求和。這給了我們 $$ A(5) = \frac{3(0)^2+\cdots + 3k^2+ \cdots + 3(5)^2}{5} = \frac{\int_{0}^{5} 3y^2 dy}{5}= \frac{(125-0)}{5}=\frac{c(5)}{5}=25 $$ $$ A(5) =25 $$ 和我們之前計算的一樣。 概括
邊際成本是
$$ MC(y) = \frac{d C(y)}{d y} $$ 平均可變成本是 $$ A(y) = \frac{\int_{0}^{y} MC(y) dy}{y} $$ 注意，因為我們假設 $ FC = 0 $ , 這個公式也因此定義了 AC 但對於 $ FC \neq 0 $ .
平均成本與平均可變成本
到目前為止，我一直對 AVC 和 AC 之間的區別很草率。我通過假設避免了這種區別 $ FC = 0 $ . 現在我將嘗試通過假設來澄清這一點 $ FC $ 可以是任何東西。
固定成本（ $ FC $ )是企業支付的不隨生產量變化的成本。例如，假設我在 Uber 工作，我買了一輛車。這筆錢被花掉了，不會隨著我開車的數量而改變。但是我消耗的汽油量確實會隨著我駕駛的量而變化。與生產成比例的成本稱為可變成本（ $ VC(y) $ ).
$$ AC(y) = \frac{C(y)}{y}=\frac{VC(y) +FC}{y}= \frac{VC(y)}{y} + \frac{FC}{y}=AVC + AFC $$ y > 0 時 AFC 的雙曲線行為
隨著產量的增加（ $ y\rightarrow \infty $ ), AFC 下降 ( $ AFC \rightarrow 0 $ ) 成反比的方式。但請注意，隨著產量下降（ $ y\rightarrow 0 $ ), AFC 走向無窮大 ( $ AFC \rightarrow \infty $ ）。因此，AFC 的情節將永遠是雙曲線，除非 $ FC = 0 $ 在這種情況下，AFC 只是 0。
AFC如何影響AC？
不指定 $ VC(y) $ ，我們無法知道 $ AC(y) $ 作為 $ y $ 遠離 $ 0 $ . 會有一些 $ y_{0} $ 這樣，對於 $ y > y_{0} $ , $ AC(y) $ 基本上可以是任何東西。當然，作為 $ y \rightarrow 0 $ , $ AC(y) \rightarrow \infty $ . 這是因為 AVC 不能為負數，因此我們保證任何可變成本不會使平均成本低於 AFC。所以， $ AVC \geq 0 $ ，所以既然 $ AFC \rightarrow \infty $ 作為 $ y\rightarrow 0 $ （記住它是一條雙曲線），因此 AC 也必須趨於無窮大。
因此，由於固定成本的行為總是已知的，因此 AVC 是指定 AC 行為所需的缺失要素。
AC 和 AVC 不能完全相等 $ FC>0 $
自從 $ AFC \rightarrow 0 $ 但不等於 0（對於 $ FC >0 $ ）， 我們知道
$$ AC \neq AVC $$對於任何 $ y $ 和 $ FC >0 $ . 但由於 $ AFC $ 接近 0 足夠大 $ y $ , AC 漸近接近 AVC。 AC 和 AVC 不能完全平行 $ FC>0 $
如果 $ AVC $ 和 $ AC $ 是平行的，那麼它們的導數應該相等。但請注意
$$ \frac{dAFC}{dy} = -\frac{FC}{y^2} $$ 所以$$ \frac{dAC}{dy} = \frac{dAVC}{dy} + \frac{dAFC}{dy} = \frac{dAVC}{dy} - \frac{FC}{y^2} \neq \frac{dAVC}{dy} $$ 所以它們不是平行的，因為它們的導數不相等。也就是說，對於足夠大 $ y $ ，導數將彼此非常接近，因此它們可能在曲線的某些部分上看起來幾乎平行。 MC 在 AC 曲線的最小點與 AC 相交
請參閱 Alecos 的回答。
MC 在 AVC 曲線的最小點與 AVC 相交
考慮平均可變成本曲線。尋找 $ y^* $ 解決了
$$ \min_{y} AVC(y) $$ 所以此時，
$$ \frac{dAVC(y^)}{dy^} = 0 $$ 這意味著通過商規則
$$ \frac{VC’(y^)y^-VC(y^)}{(y^)^2} = 0 $$ 並且因為 $ y^* $ 不能為 0，這意味著$$ VC’(y^)y^-VC(y^)=0 $$重新排列給出 $$ VC’(y^)=\frac{VC(y^)}{y^} $$ 記起， $$ C(y) = FC + VC(y) $$ 注意，由於 $ FC $ 是一個常數， $$ C’(y) = VC’(y) $$ 所以， $$ C’(y^) = \frac{VC(y^)}{y^*} $$
額外的東西
為什麼我們用平均成本而不是邊際成本來定義公司的長期停工點？
回想一下公司的利潤函式是
$$ \pi = py - C(y) $$ 我沒有定義的行為 $ p $ 這里或誰控制 $ p $ . 我只是在考慮什麼 $ p $ 公司會關閉，而忽略其他一切，因為它無關緊要。
所以我們可以很容易地看到，因為
$$ AC(y)= \frac{C(y)}{y} $$為了 $ p=AC(y) $ ，這會產生$$ \pi = \left(\frac{C(y)}{y}\right)y - C(y) = C(y)- C(y) = 0 $$ 所以公司將關閉，如果 $ p <AC(y) $ 因為那時 $ \pi < 0 $ . 所以考慮函式 $ C(y) = y^3 $ . 筆記，
$$ MC = 3y^2 > AC = y^2 $$我們知道企業利潤最大化 $ MR = MC $ . 所以，因為，對於 $ y > 0 $ , $ MC(y) > AC(y) $ , 公司總是生產如果 $ p = MC $ 因為這意味著 $ y>0 $ , $$ MC(y)y-C(y) = \pi_{p=MC} > \pi_{p=AC} = \left(\frac{C(y)}{y}\right)y - C(y) =0 $$
$$ \pi_{p=MC} > \pi_{p=AC} = 0 $$ 所以，為此 $ C(y) $ ， 在 $ p=MC $ , $ \pi >0 $ 對全部 $ y $ . 所以這個例子清楚地表明你永遠不會在 $ p=MC $ 為了 $ y>0 $ 為了 $ C(y) = y^3 $ . 雖然這不是最徹底的解釋，但這個例子顯然使這種構想無效，並使公司明確關閉 $ p< AC $
平均成本在某個時候是否必然等於邊際成本？
請參閱 Alecos 的回答。
外賣規則
- 從長遠來看，企業生產如果 $ p \geq AC(y) $ . 他們關閉了 $ p < AC(y) $
- 企業總是以 $ MR = MC $