計價和參考資產的變化
了解計價方式的變化，並遇到了這樣的說法：
任何資產的價格除以參考資產（稱為計價）是與該計價相關的度量下的鞅（無漂移）。
這聽起來很直覺，尤其是當我們將參考資產視為銀行賬戶時，這將導致風險中性措施。但是，更嚴格地說，如何證明這一點，或者哪個定理（資產定價的基本定理？）暗示了這一點？
證明存在風險中性措施是困難的部分。一旦確定了它的存在，對條件期望的簡單計算就可以從一個計價器轉到任何其他計價器。
寫 $ \beta $ 對於現金計價和 $ Q_\beta $ 相應的風險中性度量。讓 $ N $ 是一個計價器（所以 $ N $ 是一個積極的過程，並且 $ N/\beta $ 是 $ Q_\beta $ 鞅）。定義一個新的度量
$$ \frac{dQ_N}{dQ_\beta}|_{\mathcal{F}T} = \frac{N_T/\beta_T}{N_0/\beta_0} $$ 那麼，對於任何 $ P $ 英石 $ P/\beta $ 是一個 $ Q\beta $ 鞅
$$ \begin{eqnarray} \mathbb{E}^{Q_N}[ \frac{P_T}{N_T} | {\mathcal{F}t} ] &=& \frac{\mathbb{E}^{Q\beta}[ \frac{P_T}{N_T} \frac{N_T/\beta_T}{N_0/\beta_0} | {\mathcal{F}t} ]}{\mathbb{E}^{Q\beta}[ \frac{N_T/\beta_T}{N_0/\beta_0} | {\mathcal{F}t} ]} = \frac{\mathbb{E}^{Q\beta}[ \frac{P_T}{\beta_T} | {\mathcal{F}t} ]}{\mathbb{E}^{Q\beta}[ \frac{N_T}{\beta_T} | {\mathcal{F}_t} ]} = \frac{\frac{P_t}{\beta_t} }{\frac{N_t}{\beta_t} } = \frac{P_t}{N_t} \end{eqnarray} $$ 所以 $ P/N $ 是一個 $ Q_N $ 鞅。 如果你假設你有一個布朗市場：
$$ \frac{dN_t}{N_t} = r_t dt + \sigma^N_t dW_t^\beta $$ $$ \frac{dP_t}{P_t} = r_t dt + \sigma^P_t dW_t^\beta $$ $$ \frac{dQ_N}{dQ_\beta}|_{\mathcal{F}_T} = \frac{N_T/\beta_T}{N_0/\beta_0} = \exp\left(\int_0^T \sigma^N_t dW^\beta_t - \frac{1}{2} \int_0^T |\sigma^N_t|^2 dt \right) $$ 通過吉爾薩諾夫，在 $ Q_N $ , $$ dW^N_t = dW^\beta_t - \sigma^N_t dt $$ 是布朗運動，使用伊藤引理可以檢查 $$ \frac{d(P_t/N_t)}{P_t/N_t} = (\sigma^P_t - \sigma^N_t)dW^N_t $$ 這也表明它是一個布朗鞅 $ Q_N $ .