任何不基於資產回報時刻的投資組合模型？
投資組合優化的均值變異數模型使投資組合風險最小化（共變異數矩陣），這是多元資產收益的第二個統計矩，有時同時最大化投資組合收益，這是資產收益的第一個統計矩。
是否可以在不考慮資產回報時刻的情況下進行資產配置？如果是這樣，還有什麼用處？是否存在任何優化投資組合而不估計資產回報時刻的理論和技術？非基於矩的投資組合表現良好嗎？
（請不要尋找眾所周知的啟發式方法（等權重、市值權重等）
答案是那種。我將向您介紹數學史，以便您了解為什麼在經濟學中進行這種討論具有挑戰性。此外，您可能不得不將自己置於以前從未看過的數學基礎上。
1867 年，一位名叫 Jules Regnault 的年輕人成為世界上第一個 quant，並出版了一本關於它的書。它並不嚴格，而是圍繞實踐而建立的。下一步將由 Ysidro Edgeworth 在皇家學會的一次會議上進行。我憑記憶工作，但我認為是在 1888 年，但可能早在 1882 年。他將高斯的“錯誤定律”與紙幣交易聯繫起來。他還在同一討論中預測了博弈論。那時，您不在討論時刻，但您非常接近。
就在不久之前和之後，發生了兩次重要的數學辯論，這將在本文結尾處影響我們。首先是邊緣主義者的崛起。這允許在經濟學中使用微積分。第二個是 Georg Cantor 的數論，它為效用理論提供了基於偏好的基礎。
我們的下一站是 Bachelier 和他在 1900 年的博士論文。一部傑出的作品，卻被忽略了。因為它不為人知，愛因斯坦和科爾莫哥洛夫不得不重新發明它。他研究的不是股票，而是租金。這將在本次討論結束時變得重要。
我們將跳過 Frank Ramsey、Frank Knight、Bruno de Finetti、Ronald Fisher、Egon Pearson、Jerzy Neyman 和 Abraham Wald。這將是一個糟糕的判斷，但根據你的問題，你需要回到他們的工作中才能擺脫當下的難題。
我們要跳到 1940 年到 Hiyoshi Ito 和 Ruslan Stratonovich。從他們那裡，我們將跳到 Richard Bellman 和 Harry Markowitz。Ito 和 Stratonovich 獨立地發明了隨機微積分。這是一種建立在參數已知的假設之上的方法。Bellman 和 Markowitz 對此進行了稍微分開的討論，並創建了兩條連結路徑。
馬科維茨的工作並不嚴謹。你應該把它撿起來。現在會被認為是令人震驚的。然而，從知識的基礎上工作，它不應該是。他必須在文章中解釋什麼是均值或變異數。他也不知道解決辦法。Markowitz 的方法是建立在估計之上的。Ito 的方法假設您不需要進行估計。這個事實最終很重要。
Markowitz 方法的有趣之處在於它不依賴於效用。這意味著效用優化安排在統計上也是最優的。這是一個新奇的想法。問題是，目前還不清楚這個想法必須是什麼才能起作用。
1953 年，約翰·馮·諾依曼（John von Neuman）寫了一個簡短的警告說明，現代投資組合理論所必需的基礎數學尚未解決，經濟學中的證明可能不是實際的證明。無論是因為沒有人閱讀這張紙條，還是因為他們沒有意識到它的重要性，經濟學家們都在奮力前行。
1958 年，在另一個與金融無關的領域工作的數學家約翰懷特證明，如果參數未知，諸如資本資產定價模型或 Black-Scholes 等模型沒有經驗解。沒有人注意到他的證明。因為這個證明是其他重要領域的基礎，所以這個證明可以被視為有效。例如，如果懷特的證明是錯誤的，那麼你必須折騰單位根檢驗。我們知道它們有效。
1963 年，Benoit Mandelbrot 寫了一篇文章，粗略地說，如果這是你的模型，那麼這個數據就不可能是你的數據，而這就是你的數據。然後他爭辯說，無法從一開始就從分佈中提取數據。Eugene Fama 接手並隨後放棄了這項工作。我相信他錯誤地放棄了它。我幾乎犯了同樣的錯誤，但我有一個意外的優勢。我首先使用貝氏解決方案解決了這個問題。頻率論者和貝氏論者的結果之間的差異讓我明白了經濟學家在數學上的絆腳石。我在同一個地方絆倒，但有第二個參考框架可供使用。法瑪沒有。
然後是 60 年代末和 70 年代初的一系列文章，開發了 CAPM 和 Black-Scholes 的經典版本。與此同時，Fama 和 MacBeth 進行了廣泛的實證研究，以證偽 CAPM。由於 Black-Scholes 可以從 CAPM 推導出來，因此從邏輯上講，它也被證偽了。這些模型中的每一個都是圍繞假設來自具有均值、變異數和共變異數的分佈的參數而建構的。在最強的形式下，唯一合乎邏輯的解決方案是使用最小二乘估計的一些變體。唯一的問題是它不起作用。
下一代產生於希望解決這種關係似乎是不穩定的觀察的解決方案。這導致了諸如 ARIMA 和 ARCH/GARCH 之類的事情。正是在這裡，您可以開始對矩問題有所了解，因為它與另一個問題有關，即統計充分性。
如果您使用過時間序列，那麼某個地方的某個人會告訴您普通最小二乘法是無偏估計量，但不是最小變異數無偏估計量。那是因為它遭受資訊失去的困擾。貝氏方法不會導致資訊失去。貝氏資訊使用所有可能的參數資訊。貝氏概似函式是最低限度的。頻繁的斜率係數估計對於參數是不夠的。因此，Frequentist 方法是有損方法。然而，正如 White 所示，對於 CAPM 或 Black-Scholes 等模型，資訊失去是完全的。
這是一個奇怪的領域，它使用已知不起作用的估計器來創建估計。奇怪的是，幾十年的數據表明它不起作用，卻不願意改變教科書。
既然我們已經離開了金融教科書，這就把我們帶到了你的問題上。
分配問題取決於對未來價值的預測。我將假設兩個不切實際的簡單資產類別，以便可以簡潔地說明問題。第一個將是一個簡單的二元彩票。第二種是不能在相關期間支付股息或破產的股票證券。
有兩種可用的預測選擇，頻率論者和貝氏論者。理解這裡做出的選擇不正確是很危險的，這一點至關重要。
讓我們假設您的關注純粹是學術性的。您希望對他人未來的資產配置做出公正的預測。如果頻率估計器存在，它將忽略時刻。這並不明顯。重要的是要記住，對於正態分佈，第一時刻是 $ \mu $ 它不是 $ \hat{\mu} $ . 重要的是要記住$$ \hat{\mu}=\bar{x}=\sum_{i=1}^N\frac{x_i}{N} $$獨立於 $ \mu $ . 這就是為什麼充足很重要。
要了解原因，想像一下做出正確決定的唯一方法就是了解 $ \mu $ ，而你不知道。你完全依賴於你無法獲得的知識。您需要一個包含所有可用資訊的決策工具 $ \mu $ 但並不依賴於知道真正的價值 $ \mu $ . 這就是投資組合理論背後的希望和幻想。希望通過創建估算器，決策可以忽略 Ito 微積分中您知道參數的要求。
因此，在存在無偏、足夠預測變數的情況下，用於非應用目的的資產分配預測應使用決策理論的頻率論變體。在三種情況下會出現並發症。
首先，在不存在無偏估計量的情況下，頻率論預測方法的理由變得相當薄弱。其次，當不存在足夠的預測統計數據時，使用不良預測器造成的損失可能很大。第三個是不需要極小極大效用函式的地方。改寫，是一個保證 $ \alpha $ 防止誤報的機會百分比與控制誤報水平的能力有關嗎？
現在讓我們假設您的擔憂得到了應用，並且您有真錢可以分配。那麼唯一的選擇就是使用貝氏決策理論。頻率論方法違反了德菲內蒂的連貫性原則並違反了荷蘭書定理。
荷蘭書定理源於無套利假設的弱化版本。可以根據使用頻率統計的資產分配器來操縱市場。如果整個領域都在使用頻率估計器，那麼就有可能從系統中收取免費資金。我在https://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/tool-induced-arbitrage-opportunities-also-how-to-cut-cakes上寫了一篇關於它的文章。
在貝氏方面，矩也消失了，因為貝氏預測總是足夠的。
這帶來了一系列不同的問題。貝氏後驗預測分佈最小化 Kullback-Leibler 散度。也就是說，不可能在系統的基礎上做出更接近自然的預測。不過，這對你沒有幫助。預測分佈正是資產配置預測的分佈。您需要點統計數據，而不是無限數量的選擇。
貝氏方法將推理與決策分開。您需要決定分配多少。該解決方案來自將效用函式強加到後驗預測分佈上。您需要確定因高估或低估參數而導致的損失類型。
我寫了一篇關於這種情況的可能解決方案的文章。可以在https://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/a-generalized-stochastic-calculus的部落格文章中找到它。
現在這將我們帶到二元案例和股權案例。在二進制情況下，矩是明確定義的，但不需要知道。想像一下，您將成為一名博彩公司，為一組賭注設定賠率 $ n $ 二進制事件。你已看到 $ \alpha $ 成功和 $ \beta $ 過去的失敗。您將根據未來成功結果的一組潛在未來計數設置支出， $ K={k_1,\dots{k_n}} $ . 預測的機率 $ K=k_i $ 是$$ \Pr(k_i|n,\alpha,\beta)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(k+\alpha-1)!(n-k+\beta-1)!}{(n+\alpha+\beta-1)!}\frac{(\alpha+\beta-1)!}{(\alpha-1)!(\beta-1)!}. $$ 由於您是博彩公司，因此您可以控制“vig”，因此可以將其轉換為凱利賭注。
物理現象現在與賭博現象分開了。二元事件的時刻不再匹配原始賭博的時刻，因為 vig 將它們分開。
現在讓我們轉向股票證券。在最簡單的情況下，return 可以定義為$$ r_t=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t}-1. $$ 由於收益是數據的函式，因此收益是統計數據而不是數據。
收益的分配部分取決於價格比率。在相對溫和的假設下，所涉及的比率分佈不能有第一矩，因此解中必須缺少矩。請參閱此影片進行簡短討論：https ://youtu.be/R3fcVUBgIZw 。
如上所述，參數不屬於任何貝氏預測，貝氏預測並不關心底層沒有矩。由於做市商正在採取價差，因此這裡的動態反轉了。你必須正式考慮流動性成本，否則你會得到錯誤的結果。您會將公司的退貨誤認為是您的退貨。
分配現在取決於預測分佈和效用函式。作為旁注，由於不存在第一時刻，因此您無法最小化正方形並獲得有意義的答案。
然後，您的點分配將是最大化後驗預測的預期效用的分配。我要指出的是，價值投資是上述的一個有趣的特例。事實上，它是一種隨機佔優策略（儘管不是唯一的）。
另外一個附註，日誌實用程序映射到與凱利標準相同的解決方案，儘管它也允許約束。你不會有股票的時刻，你會最大化漸近回報。