最小變異數投資組合變異數的封閉式解析解？
最小變異數投資組合的投資組合權重向量有一個閉式解析解，
$$ \boldsymbol{w} = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}} $$
但是是否可以直接計算相同投資組合的變異數 $ \sigma_p^2 $ ?
鑑於 $ \sigma_p^2 = \boldsymbol{w^\top \Sigma w} $ , 的簡化是什麼
$$ \begin{aligned} \sigma_p^2 & = \left( \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}}\right)^\top \cdot \boldsymbol{\Sigma} \cdot \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}} \ & = \frac{\boldsymbol{1} ^\top(\boldsymbol{\Sigma}^\top)^{-1}}{\boldsymbol{1} ^\top\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} } \cdot \boldsymbol{\Sigma} \cdot \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}} \ & = ? \end{aligned} $$
$$ $$
最大夏普比率投資組合的變異數如何？
讓
$$ \begin{align} a&\equiv \mathbf{1}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}\ b&\equiv \mathbf{1}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}\ c&\equiv \boldsymbol{\mu}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu} \end{align} $$
然後 $$ \begin{align} \mathrm{E(minVarPortfolio)}& = \frac{b}{a}\ \mathrm{V(minVarPortfolio)}& = \frac{1}{a}\ \mathrm{E(TangencyPortfolio)}& = \frac{c}{b}\ \mathrm{V(TangencyPortfolio)}& = \frac{c}{b^2}\ \mathrm{Cov(MVP,Tangency)}& = \frac{1}{a}\ \end{align} $$
實際上，任何有效投資組合與 MVP之間的共變異數為 $ 1/a $ .