二次效用下兩種資產隱含風險厭惡的封閉式解
因此，我認為對於兩種資產的隱含風險規避應該有一個封閉形式的解決方案，但我不確定如何實現。假設你有二次效用 $ U $ 在兩個資產的完全投資組合上（ $ w_1 + w_2 = 1 $ ):
$$ U = r_p - \frac{\lambda}{2} , \sigma^2_p $$
並給定資本市場回報（ $ r_i $ ) 和卷 ( $ \sigma_i $ ) 為每個資產和相關性 ( $ \rho_{12} $ ) 兩個資產之間。
在一個通常的問題中，你可能會被賦予風險規避（ $ \lambda $ ) 並找到權重 ( $ w_1 $ , $ w_2 $ ) 最大化效用。我正在尋找的是針對隱含風險厭惡的相反問題的封閉形式解決方案，換句話說，給定一個最佳投資組合（ $ w^_1 $ , $ w^_2 $ ) 什麼是隱含的風險厭惡 $ \lambda $ 對於希望獲得最佳投資組合的客戶。
$$ \lambda(w^_1, w^2, r_1, r_2, \sigma_1,\sigma_2, \rho{12}) =, … $$
編輯：@KermitFrog 提醒我，解決方案必須仍然是最佳解決方案，然後 $ \lambda $ 可以解決。給出以下內容：
$$ 0 = \frac{dU}{dw_1} $$
$$ 0 = \frac{d}{dw_1}[w_1r_1 + w_2r_2 - \frac{\lambda}{2}(w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2\rho\sigma_1\sigma_2w_1w_2)] $$ $$ 0 = r_1 - r_2 - \frac{\lambda}{2} [2w_1\sigma_1^2 - 2w_2\sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2(w_1-w_2)] $$
$$ \lambda = \frac{r_1-r_2}{w_1\sigma_1^2 - w_2\sigma_2^2 - \rho\sigma_1\sigma_2(w_1-w_2)} $$
是的，這當然是可能的。
如果設置了相應的優化，
$$ L=w^T\mu - \frac{\lambda}{2}w^T\Sigma w - h\left(w^T\mathbf{1}-1\right) $$ 並找到一階條件：
$$ \begin{pmatrix} \lambda\Sigma & \mathbf{1}\ \mathbf{1}^T&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}w\h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mu \ 1\end{pmatrix} $$
您會看到解決方案又是平常的：
$$ w^*=\frac{1}{\lambda}\left(\Sigma^{-1}-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}}{\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}\mathbf{1}}\right)\mu+\frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}\mathbf{1}} $$
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