資產變異數對投資組合變異數的貢獻
資產的差異如何， $ \sigma_i^2 $ ，被證明有助於投資組合變異數， $ \sigma_p^2 $ ?
我正在考慮採用導數（一階條件 $ \frac{\partial L_{\sigma_p^2}(w,\lambda)}{\partial \sigma_i} $ ) 的最小變異數投資組合目標函式的拉格朗日公式，但不確定這是否是正確的方法，因為這個想法是在優化之前推測資產的變異數將如何影響投資組合變異數，基於資產的立場- 單獨的變異數（或波動性）水平。此外，資產變異數不會出現在投資組合變異數的拉格朗日中。
一個已證明的推導 $ \frac{\partial L_{\sigma_p^2}(w,\lambda)}{\partial \sigma_i} $ 一階條件可能被標記為最佳答案，但也可以接受替代建議。
在這個答案中，我假設您希望保持相關性不變。
首先，請注意 $ N\times N $ 共變異數矩陣 $ \Sigma $ 有元素 $ \Sigma_{i,j}=Cov(x_i,x_j) $ 可以寫成
$$ \Sigma = \mathbf{SRS} $$
在哪裡 $ \mathbf{S} $ 是簡單波動率的對角矩陣 $ \sigma_i $ ， 和 $ \mathbf{R} $ 是相關矩陣。因此在矩陣意義上，
$$ \frac{\partial \mathbf{\Sigma}}{\partial\sigma_i}=\frac{\partial\mathbf{SRS}}{\partial\sigma_i}=\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\sigma_i}\mathbf{RS}+\mathbf{SR}\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial\sigma_i} $$
的導數 $ \mathbf{S} $ 關於 $ \sigma_i $ 是一個零對角矩陣，其 $ i $ 第一個元素是 $ 1 $ . 它是一個單項矩陣或選擇器矩陣，我們將其表示為 $ \mathbf{E}_i $ . 例如，對於 $ \mathbf{E}_2 $ 是
$$ \mathbf{E}_2=\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &0\ 0&1&0&\ldots &0\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ 0&0&0&\ldots &0\\end{pmatrix} $$
因此，
$$ \frac{\partial\mathbf{\Sigma}}{\partial\sigma_i}=\mathbf{E}_i\mathbf{RS}+\mathbf{RS}\mathbf{E}_i $$
因此，（任何）波動率變化對投資組合變異數的邊際影響 $ v=\mathbf{w}^T\mathbf{\Sigma} \mathbf{w} $ 可以計算為（經過一些代數）
$$ \frac{\partial v}{\partial \mathrm{diag(S)}}=\mathbf{w}^T\frac{\partial \mathbf{\Sigma}}{\partial \mathrm{diag(S)}}\mathbf{w}=2\mathbf{w}\otimes \left(\mathbf{RSw} \right) $$ 在哪裡 $ \otimes $ 表示逐元素乘法，即 $ x\otimes y = \mathrm{diag}(xy^T) $ . 方便的是，這個公式一次返回所有導數。
範例：與
$$ \mathbf{S}=\mathrm{diag}\begin{pmatrix}0.1&0.2&0.3\end{pmatrix} $$ 和 $$ \mathbf{R}=\begin{pmatrix}1 & 0.5 & 0.25 \ 0.5 & 1 & 0.1 \ 0.25 & 0.1 & 1\end{pmatrix} $$ 和一個權重向量
$$ \mathbf{w}=\begin{pmatrix}0.2 & 0.3 & 0.5\end{pmatrix}^T $$
我們發現
$$ \frac{\partial v}{\partial \mathrm{diag(S)}}=2\mathbf{w}\otimes \left(\mathbf{RSw} \right)=2\begin{pmatrix}.2\.3\.5\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0.0875\0.085\0.161\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.035\0.051\0.161\end{pmatrix} $$
因此，例如，投資組合變異數對第一次波動率的敏感度為 0.035。
通過更多的代數，您可以發現獨立 vols 對任何投資組合優化解決方案的影響，例如 MVP。使用上面的結果和事實 $ \sigma_{MVP}=\frac{1}{\mathbf{1}^T{\Sigma^{-1} 1}} $ 和知識 $ \mathbf{\Sigma}^{-1}=\mathbf{S}^{-1}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}^{-1} $ .
拉格朗日“解決方案”可能會對投資組合風險產生*負面影響，這看起來很糟糕。*另一種定義是通過共變異數的對稱平方根， $ \Sigma^{1/2} $ . 對於投資組合 $ \vec{w} $ 定義 $$ \vec{r} = \Sigma^{1/2}\vec{w}. $$ 的規範 $ \vec{r} $ 是投資組合的波動率。此外，這個定義對於資產空間的旋轉是等變的（使用 Cholesky 平方根不會產生這個屬性），因此在元素上 $ \vec{r} $ 可以與單個資產進行辨識。另請參閱風險平價等無平價。