投資組合優化
約束優化前後的區別
約束使用無約束獲得的優化投資組合權重與獲得目標中的約束的權重有何含義？
讓資產收益按均值分佈 $ \mu $ 和共變異數 $ C $ .
$$ r\sim(\mu,C) $$ 無約束的投資組合優化：
$$ \min_w\frac{\gamma}{2}w^TCw-w^T\mu $$ 最佳重量-
$$ w^*=\frac{1}{\gamma}C^{-1}\mu $$ 約束後優化-
定義 $ e $ 作為 1s 的向量。
$$ e^Tw^=1\implies\gamma=e^TC^{-1}\mu $$ $$ w^=\frac{C^{-1}\mu}{e^TC^{-1}\mu} $$ 受限的投資組合優化：
$$ \min_w\frac{\gamma}{2}w^TCw-w^T\mu-\lambda(e^Tw-1) $$ 最佳重量-
$$ w^*=\frac{C^{-1}(\mu+\lambda e)}{e^TC^{-1}(\mu+\lambda e)} $$
考慮兩個變數的方程（基本上是你的 obj func）：
$$ f(x,y) = x^2 + y^2 $$ 無約束最小化是 $ x=y=0 $ . 如果您現在將這個總和限制為等於一，那麼優化後，它就不太有效，因為您乘以無窮大。但是，即使 obj func 略有不同並且它是有限的，它也不會返回實際約束最小化的最小值，在這種情況下是 $ x=y=0.5 $ ，因為它們是兩種不同的計算。
類似的說法是：從一個 20 名學生中找到最高的 3 個，然後（發布）選擇女孩，而不是（預先）限制在班上的女孩中找到最高的 3 個。